Question

知函數(shù)y=sin²x+sin2x+3cos²x，求
（1）函數(shù)的最小值及此時(shí)的x的集合；
（2）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）此函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=

2

sin2x的圖象經(jīng)過怎樣變換而得到．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡整理，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值以及x的值．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（3）先由y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

8

個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位而得到．y=

2

sin(2x+

π

4

)+2的圖象．

解答：解：由y=sin²x+sin2x+3cos²x=1+sin2x+2cos²x=1+sin2x+（1+cos2x）=

2

sin(2x+

π

4

)+2
（1）當(dāng)sin(2x+

π

4

)=-1時(shí)，y_最小=2-

2

，此時(shí)，由2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，得x=kπ-

3π

8

，
（2）由2kπ+

π

2

＜2x+

π

4

＜2kπ+

3π

2

，得減區(qū)間為x∈[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]
（3）其圖象可由y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

8

個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位而得到．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，兩角和公式和二倍角公式的化簡求值．考查了考生基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力．