Question

【題目】在函數(shù)定義域內(nèi),若存在區(qū)間,使得函數(shù)值域為,則稱此函數(shù)為“檔類正方形函數(shù)”,已知函數(shù).

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的值域;

(2)若函數(shù)的最大值是1,求實數(shù)的值;

(3)當(dāng)時,是否存在,使得函數(shù)為“1檔類正方形函數(shù)”?若存在,求出實數(shù)的取值范圍,若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)或;(3)存在,.

【解析】

（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)想性質(zhì)可得到函數(shù)的值域；

（2）利用換元法設(shè)，然后對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分和兩種情況進(jìn)行討論函數(shù)的最大值，根據(jù)最大值取得的情況計算出的取值；

（3）繼續(xù)利用換元法設(shè)，設(shè)真數(shù)為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，則，將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個不同實根進(jìn)行思考，再次利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)，及韋達(dá)定理可計算出實數(shù)的取值范圍.

(1)時,,

因為.

所以,

所以函數(shù)的值域為

(2)設(shè),則,

若,則函數(shù)無最大值,

即無最大值,不合題意;

故,因此最大值在時取到,

且,所以,

解得或,

由,所以.

(3)因為時,設(shè).設(shè)真數(shù)為.

此時對稱軸,

所以當(dāng)時,為增函數(shù),且,

即在上為增函數(shù).

所以,,

即方程在上有兩個不同實根,

即,設(shè).

所以.

即方程有兩個大于l的不等實根,

因為,

所以,

解得,

即存在,使得函數(shù)為“1檔類正方形函數(shù)”,且.