【題目】已知在橢圓上,為右焦點,軸,為橢圓上的四個動點,且,交于原點.
(1)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系;
(2設(shè),滿足,判斷的值是否為定值,若是,請求出此定值,并求出四邊形面積的最大值,否則說明理由.
【答案】(1)直線與橢圓相切或相交.(2)的值是定值,;
【解析】
(1)將直線變形,可確定直線所過定點的坐標,可得該定點坐標在橢圓上,即可判斷出直線與橢圓的位置關(guān)系.
(2)先根據(jù)條件,求得橢圓的標準方程.討論直線的斜率情況可知當(dāng)斜率不存在或斜率為0時不滿足.進而設(shè)直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程,利用韋達定理及等式,化簡即可求得的值,確定為定值;由點到直線距離公式求得,利用弦長公式求得,即可用表示出,由二次函數(shù)性質(zhì)求得的最大值,并根據(jù)即可求得的最大值.
(1)直線,
將直線方程化簡變形可得,
因為,令,解得 ,
所以直線過定點,
而由在橢圓上,可知直線與橢圓相切或相交.
(2)在橢圓上,軸,
由橢圓性質(zhì)可得 ,
則解得 ,
所以橢圓的標準方程為,
因為,,為橢圓上的四個動點且,交于原點.
所以,,
當(dāng)直線的斜率不存在時,不滿足,因而直線的斜率一定存在.
當(dāng)直線斜率存在且為0時,不滿足,所以直線的斜率一定存在且不為0.
設(shè)直線的方程為.
則,化簡可得,
所以,
因為,
所以,
則,
整理可得,
解得.
由題意可知的位置等價,所以不妨設(shè),則,
則,
即為定值.
直線的方程為.即
則點到直線的距離為
因為
代入可得
則由弦長公式可得
所以
當(dāng)時取等號.而時滿足.
所以
此時
故四邊形面積的最大值的最大值為4
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市的甲區(qū)、乙區(qū)分別對6個企業(yè)進行評估,綜合得分情況如莖葉圖所示.
(1)根據(jù)莖葉圖,分別求甲、乙兩區(qū)引進企業(yè)得分的平均值;
(2)規(guī)定85分以上(含85分)為優(yōu)秀企業(yè),若從甲、乙兩個區(qū)準備引進的優(yōu)秀企業(yè)中各隨機選取一個,求這兩個企業(yè)得分的差的絕對值不超過5分的概率.
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【題目】已知正四棱柱的底面邊長為2,側(cè)棱,為上底面上的動點,給出下列四個結(jié)論中正確結(jié)論為( )
A.若,則滿足條件的點有且只有一個
B.若,則點的軌跡是一段圓弧
C.若∥平面,則長的最小值為2
D.若∥平面,且,則平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形的面積為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解數(shù)學(xué)課外興趣小組的學(xué)習(xí)情況,從某次測試的成績中隨機抽取名學(xué)生的成績進行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計本次測試成績的眾數(shù);
(2)從成績不低于分的兩組學(xué)生中任選人,求選出的兩人來自同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中國詩詞大會》(第二季)亮點頗多,十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞在聲光舞美的配合下,百人團齊聲朗誦,別有韻味.若《將進酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場,且《將進酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場的排法有( )
A. 288種 B. 144種 C. 720種 D. 360種
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【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線與直線垂直,求的值;
(2)當(dāng)且時,函數(shù)的圖象總在直線的下方,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】A4紙是生活中最常用的紙規(guī)格.A系列的紙張規(guī)格特色在于:①A0、A1、A2…、A5,所有尺寸的紙張長寬比都相同.②在A系列紙中,前一個序號的紙張以兩條長邊中點連線為折線對折裁剪分開后,可以得到兩張后面序號大小的紙,比如1張A0紙對裁后可以得到2張A1紙,1張A1紙對裁可以得到2張A2紙,依此類推.這是因為A系列紙張的長寬比為:1這一特殊比例,所以具備這種特性.已知A0紙規(guī)格為84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈,那么A4紙的長度為( 。
A.厘米B.厘米C.厘米D.厘米
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【題目】微信紅包是一款可以實現(xiàn)收發(fā)紅包、查收記錄和提現(xiàn)的手機應(yīng)用.某網(wǎng)絡(luò)運營商對甲、乙兩個品牌各5種型號的手機在相同環(huán)境下?lián)尩降募t包個數(shù)進行統(tǒng)計,得到如表數(shù)據(jù):
手機品牌型號 | |||||
甲品牌(個 | 4 | 3 | 8 | 6 | 12 |
乙品牌(個 | 5 | 7 | 9 | 4 | 3 |
手機品牌紅包個數(shù) | 優(yōu) | 非優(yōu) | 合計 |
乙品牌(個 | |||
合計 |
(1)如果搶到紅包個數(shù)超過5個的手機型號為“優(yōu)”,否則“非優(yōu)”,請完成上述列聯(lián)表,據(jù)此判斷是否有的把握認為搶到的紅包個數(shù)與手機品牌有關(guān)?
(2)如果不考慮其它因素,要從甲品牌的5種型號中選出3種型號的手機進行大規(guī)模宣傳銷售.以表示選中的手機型號中搶到的紅包超過5個的型號種數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
下面臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | <>2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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【題目】《九章算術(shù)》的盈不足章第19個問題中提到:“今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊.齊去長安三千里.良馬初日行一百九十三里,日增一十三里.駑馬初日行九十七里,日減半里…”其大意為:“現(xiàn)在有良馬和駑馬同時從長安出發(fā)到齊去.已知長安和齊的距離是3000里.良馬第一天行193里,之后每天比前一天多行13里.駑馬第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里…”試問前4天,良馬和駑馬共走過的路程之和的里數(shù)為( 。
A.1235B.1800C.2600D.3000
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