如圖,已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,且
,,,點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:;
(3)求二面角的余弦值.
(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析;(3).

試題分析:(1)連接,利用中位線(xiàn)得到,然后再利用直線(xiàn)與平面平行的判定定理證明平面;(2)證法一是建立以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法證明;證法二:先證明,于是得到,于是得到,再證明平面,從而得到,最后利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明平面,從而得到;證法三是,得到,于是得到,再證明平面,從而得到,最后利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明平面,從而得到;(3)解法一是建立以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量法求二面角的余弦值;解法二是過(guò)于點(diǎn),過(guò),連接,先利用平面,于是說(shuō)明為二面角的平面角,然后在直角,然后在直角中求的值.
(1)證明:連接的中點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn),
的中點(diǎn),,
,,平面;
(2)證法一:在直角中,,,
棱柱的側(cè)棱與底面垂直,且,以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在的直線(xiàn)為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系如圖示,則

,,,,
,
,;
證法二:連接,在直角中,,,

,,
,,
,
,且
平面,,又,故平面
平面,;
證法三:連接,在直角中,,,
設(shè),,
,即,
,且平面,
,又,故平面,
平面,;
(3)解法一:棱柱的側(cè)棱與底面垂直,且
以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在的直線(xiàn)為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

依題意得,,,,,
設(shè)面的一個(gè)法向量為,
,得,令,得,
同理可得面的一個(gè)法向量為,
故二面角的平面角的余弦值為
解法二:過(guò)于點(diǎn),過(guò),連接

平面底面,平面,
,平面,,
為二面角的平面角,
中,,,
,,
,故.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知四棱錐的底面為直角梯形,底面,且,,的中點(diǎn).

(1)證明:面;
(2)求所成的角的余弦值;
(3)求二面角的正弦值.

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如圖所示,空間中有一直角三角形,為直角,,,現(xiàn)以其中一直角邊為軸,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后,將點(diǎn)所在的位置記為,再按逆時(shí)針?lè)较蚶^續(xù)旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)所在的位置記為.
(1)連接,取的中點(diǎn)為,求證:面;
(2)求與平面所成的角的正弦值.

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下列四個(gè)命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是(    )個(gè)
① 若平面平面,直線(xiàn)平面,則;
② 若平面平面,且平面平面,則
③平面平面,且,點(diǎn),,若直線(xiàn),則;
④直線(xiàn)為異面直線(xiàn),且平面平面,若,則.
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

[2012·安徽高考]設(shè)平面α與平面β相交于直線(xiàn)m,直線(xiàn)a在平面α內(nèi),直線(xiàn)b在平面β內(nèi),且b⊥m,則“α⊥β”是“a⊥b”的(  )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

[2013·安徽高考]在下列命題中,不是公理的是(  )
A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行
B.過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面
C.如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)
D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

(2013•浙江)在空間中,過(guò)點(diǎn)A作平面π的垂線(xiàn),垂足為B,記B=fπ(A).設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,對(duì)空間任意一點(diǎn)P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,則(  )
A.平面α與平面β垂直
B.平面α與平面β所成的(銳)二面角為45°
C.平面α與平面β平行
D.平面α與平面β所成的(銳)二面角為60°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)是兩條不同的直線(xiàn),是兩個(gè)不同的平面。下列四個(gè)命題正確的是(   )
A.B.
C.D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案