Question

【題目】為固定的整數(shù)，定義任意整數(shù)坐標點關(guān)于的余數(shù)是關(guān)于的余數(shù).找出所有正整數(shù)數(shù)組，使得以、、、為頂點的長方形具有如下性質(zhì)：

ⅰ.長方形內(nèi)整數(shù)點以為余數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同；

ⅱ.長方形邊界上整數(shù)點以為余數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同.

Answer 1

【答案】滿足條件的為：當時，中至少有一個為奇數(shù)；當時，

或

【解析】

長方形邊界上共有個整點，則有.

長方形內(nèi)共有個整點，則有.

當時，為使其中被2除余0，1的點的個數(shù)相同，則必有.

從而，中至少有一個為奇數(shù).

另一方面，當中至少有一個為奇數(shù)時，不妨設(shè)為奇數(shù)，則對一切在個點中被2除余0，1的點的個數(shù)相同.從而，長方形內(nèi)的整點中被2除余0，1的個數(shù)相同.

又及中被2除余0，1的點的個數(shù)相同，且對一切，點與被2除余數(shù)一個為0，一個為1.從而，長方形邊界上的點中被2除余0，1的個數(shù)也相同.

故此時滿足要求，其中中至少有一個奇數(shù).

當時，邊界上共有個整點：

與

.

它們的坐標和分別為與.

設(shè)則邊界上的點中被除余的有偶數(shù)個，

且若，則邊界上的點中被除余0的有奇數(shù)個， 這不可能，故必有.

且當時， 邊界上的點中被除余的個數(shù)必相同.

又長方形內(nèi)部共有個點，故必有.

若，則設(shè)分別是除以的余數(shù)，

則，且若，則又由知，從而，

.

這不可能，故.同理知.

于是，長方形內(nèi)部整點被除余的個數(shù)相同等價于

中被除余的個數(shù)相同.

又，故必有.于是，

中沒有被除余0的點，矛盾.

從而之一必被除余1，而另一個被除余.此時，由于或，可知內(nèi)部整點被除余的個數(shù)相同.

綜上所述，滿足條件的為：當時，中至少有一個為奇數(shù)；當時，

或.