動點C到點A（-1，0）的距離是它到點B（1，0）的距離的
2
倍．
（1）求動點C的軌跡方程；
（2）已知直線l經(jīng)過點D（0，1）且與動點C的軌跡相切，求直線l的方程．
分析：（1）設(shè)C的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)兩點間的距離公式化簡等式|CA|=
2
|CB|，即可得到動點C的軌跡方程；
（2）由（1）得到C的軌跡是以M（3，0）為圓心、半徑r=2
2
的圓．設(shè)所求直線l方程為y=kx+1，根據(jù)直線與圓相切利用點到直線的距離公式列式，解出k值即可得到所求滿足條件的直線l的方程．
解答：解：（1）設(shè)C（x，y），可得|CA|=
(x+1)2+y2
，|CB|=
(x-1)2+y2
，
∵C到點A（-1，0）的距離是它到點B（1，0），
∴|CA|=
2
|CB|，可得
(x+1)2+y2
=
2
•
(x-1)2+y2
，
化簡整理，得（x-3）2+y2=8，即為動點C的軌跡方程；
（2）由（1）可得動點C的軌跡是以M（3，0）為圓心、半徑r=2
2
的圓．
設(shè)經(jīng)過點D（0，1）的直線l為y=kx+1，即kx-y+1=0
∵直線l與動點C的軌跡相切，即直線l與圓M相切，
∴點M到直線l的距離等于半徑，即
|3k+1|
k2+1
=2
2
，解之得k=1或-7．
由此可得直線l的方程為y=x+1或y=-7x+1．
點評：本題給出動點滿足的條件，求它的軌跡方程并依此求曲線的切線方程．著重考查了兩點的距離公式、直線的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)動點P到點A（-1，0）和B（1，0）的距離分別為d1和d2，∠APB=2θ，且存在常數(shù)λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=λ．
（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點B作直線雙曲線C的右支于M，N兩點，試確定λ的范圍，使
OM
•
ON
=0，其中點O為坐標(biāo)原點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列3個命題：
①在平面內(nèi)，若動點M到F1（-1，0）、F2（1，0）兩點的距離之和等于2，則動點M的軌跡是橢圓；
②在平面內(nèi)，給出點F1（-5，0）、F2（5，0），若動點P滿足|PF1|-|PF2|=8，則動點P的軌跡是雙曲線；
③在平面內(nèi)，若動點Q到點A（1，0）和到直線2x-y-2=0的距離相等，則動點Q的軌跡是拋物線．
其中正確的命題有（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點C到點A(－1,0)的距離是它到點B(1,0)的距離的倍.

(1)試求點C的軌跡方程；

(2)已知直線l經(jīng)過點P(0,1)且與點C的軌跡相切，試求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年江西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)動點P到點A（-1，0）和B（1，0）的距離分別為d1和d2，∠APB=2θ，且存在常數(shù)λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=λ．
（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點B作直線雙曲線C的右支于M，N兩點，試確定λ的范圍，使，其中點O為坐標(biāo)原點．

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