Question

定義：滿足對(duì)任意的正整數(shù)n，a_n+2-a_n+1≤a_n+1-a_n都成立的數(shù)列{a_n}為“降步數(shù)列”．給出以下數(shù)列{a_n}（n∈N^*）：
①a_n=5n+3；②a_n=n²+n+1；③a_n=

n

；④a_n=2n+

1

n

；⑤a_n=

1

n2+n

；
其中是“降步數(shù)列”的有

 

（寫出所有滿足條件的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對(duì)所給的五個(gè)數(shù)列，利用“降步數(shù)列”的概念，逐個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證，能求出結(jié)果．

解答： 解：在①中，∵a_n=5n+3，
∴a_n+2-a_n+1=5（n+2）-5（n+1）=5，
a_n+1-a_n=5（n+1）-5n=5，
∴對(duì)任意的正整數(shù)n，a_n+2-a_n+1≤a_n+1-a_n都成立，故①是“降步數(shù)列”；
在②中，∵a_n=n²+n+1，
∴a_n+2-a_n+1=（n+2）²+（n+2）+1-[（n+1）²+（n+1）+1]=2n+4，
a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）+1-（n²+n+1）=2n+2，
∴對(duì)任意的正整數(shù)n，a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n都成立，故②不是“降步數(shù)列”；
在③中，∵a_n=

n

，
∴a_n+2-a_n+1=

n+2

-

n+1

，
a_n+1-a_n=

n+1

-

n

，
∴對(duì)任意的正整數(shù)n，a_n+2-a_n+1≤a_n+1-a_n都成立，故③是“降步數(shù)列”；
在④中，∵a_n=2n+

1

n

，
∴a_n+2-a_n+1=2（n+2）+

1

n+2

-[2（n+1）+

1

n+1

]=2+

1

n+2

-

1

n+1

，
a_n+1-a_n=2（n+1）+

1

n+1

-2n-

1

n

=2+

1

n+1

-

1

n

，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n成立，故④不是“降步數(shù)列”；
在⑤中，∵a_n=

1

n2+n

，
∴a₃-a₂=

1

12

-

1

6

=-

1

12

，
a₂-a₁=

1

6

-

1

2

=-

1

3

，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n成立，故⑤不是“降步數(shù)列”．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查“降步數(shù)列”的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．