Question

已知函數(shù)為奇函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在上至多一個(gè)零點(diǎn).

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明略

【解析】

試題分析：（1）已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值一般思路：利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為，從而建立方程，使問(wèn)題獲解，但是在解決選擇題，填空題時(shí)，利用定義去做相對(duì)麻煩，因此為使問(wèn)題解決更快，可采用特值法；（2）對(duì)于恒成立的問(wèn)題，常用到兩個(gè)結(jié)論：（1），（2）；（3）對(duì)于給出的具體函數(shù)的解析式的函數(shù)，證明或判斷在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：一是利用函數(shù)單調(diào)性的定義：作差、變形，由的符號(hào)，在確定符號(hào)是變形是關(guān)鍵，掌握配方，提公因式的方法，確定結(jié)論；二是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解；（4）單調(diào)函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn).

試題解析：【解析】
函數(shù)為奇函數(shù)，

，即

又，

函數(shù)解析式

當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在都是單調(diào)遞增，

在單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，

不等式在上恒成立，

實(shí)數(shù)的最小值為

證明：，設(shè)任取任意實(shí)數(shù)

，，即

，又，，即

在單調(diào)遞減

又，結(jié)合函數(shù)圖象知函數(shù)在上至多有一個(gè)零點(diǎn)

考點(diǎn)：1、利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)；2、恒成立的問(wèn)題；3、利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性