Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

4

=1的左右焦點分別為F₁與F₂，點P在直線l：x-

3

y+8+2

3

=0上．當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時，

|PF1|

|PF2|

的比值為

3

-1

．

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓

x2

16

+

y2

4

=1的方程得出其左右焦點分別為F₁（-2

3

，0）、與F₂（2

3

，0）．如圖，根據(jù)平面幾何知識知，當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時，經(jīng)過F₁與F₂的圓與直線l 相切，求出圓心坐標(biāo)，再利用相似三角形的知識得出

|PF 1|

|PF 2|

=

PB

BF 2

，最后利用相似比即可求出答案．

解答：解：橢圓

x2

16

+

y2

4

=1的左右焦點分別為F₁（-2

3

，0）、與F₂（2

3

，0）．
如圖，根據(jù)平面幾何知識知，當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時，經(jīng)過F₁與F₂，的圓與直線l 相切，此時圓心在y軸上，坐標(biāo)為A（0，2），
在直線l：x-

3

y+8+2

3

=0中令y=0得B的坐標(biāo)：
B（-8-2

3

，0），
在三角形BPF₁和三角形BF₂P中，∠BPF₁=∠BF₂P，
∴△BPF₁∽△BF₂P，
∴

|PF 1|

|PF 2|

=

PB

BF 2

=

AB 2-PA 2

BO+OF 2

=

3

-1．
故答案為：

3

-1．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓的切線等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．