精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1,點(diǎn)P為其上一點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn),Q為射線F1P延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且|PQ|=|PF2|,設(shè)R為F2Q的中點(diǎn).
(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求R形成的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C,直線l:y=k(x+4
2
)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),若∠AOB=90°時(shí),求k的值.
分析:(1)F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)設(shè)R(x,y),Q(x1,y1).由|PQ|=|PF2|,知|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=8,所以(x1+2)2+y12=64,由此能導(dǎo)出R的軌跡方程.
(2)當(dāng)∠AOB=90°時(shí),在Rt△AOC中,∠AOC=45°,此時(shí)弦心距|OC|=2
2
,又|OC|=
|4
2
k|
1+k2
.由此能導(dǎo)出k的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)設(shè)R(x,y),Q(x1,y1).∵|PQ|=|PF2|,
∴|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=8,則(x1+2)2+y12=64.(4分)
x=
x1-2
2
y=
y1
2
得x1=2x-2,y1=2y.
∴(2x)2+(2y)2=64,故R的軌跡方程為:x2+y2=16(7分)
(2)如圖,當(dāng)∠AOB=90°時(shí),
在Rt△AOC中,∠AOC=45°,此時(shí)弦心距|OC|=2
2

又|OC|=
|4
2
k|
1+k2
.由
|4
2
k|
1+k2
=2
2
k=±
3
3
.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1
的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M,使得△F1MF2為直角三角形;
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點(diǎn),且與這條拋物線交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為2;
③若過雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線,垂足為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|OM|=a;
④已知⊙C1:x2+y2+2x=0,⊙C2:x2+y2+2y-1=0,則這兩個(gè)圓恰有2條公切線.
其中正確命題的序號(hào)是
 
.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)

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已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1
的左焦點(diǎn)是F1,右焦點(diǎn)是F2,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,那么|PF1|:|PF2|=
 

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已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1
的左焦點(diǎn)是F1,右焦點(diǎn)是F2,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,那么|PF1|:|PF2|=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
與x軸交于A、B兩點(diǎn),焦點(diǎn)為F1、F2
(1)求以F1、F2為頂點(diǎn),以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線E的方程;
(2)M為雙曲線E上一點(diǎn),y軸上一點(diǎn)P (0,
16
3
)
,求|MP|取最小值時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).

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