Question

給出下列命題：
①已知橢圓

x2

16

+

y2

8

=1的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，則這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F₁MF₂為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x²的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點，則|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，則這兩個圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號是

 

．（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①分F₁M垂直于x 軸時，MF₂垂直于x 軸時，當(dāng)∠F₁MF₂  為直角時，三種情況進(jìn)行討論．
②利用|AB|的最小值為拋物線的通徑2p，進(jìn)行判斷．
③點斜式求出垂線方程，將它與漸近線方程聯(lián)立求得交點M的坐標(biāo)，計算線段MO 的值．
④求出兩個圓的圓心和半徑，再求出圓心距，由兩圓的圓心距等于

2

，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，從而得出結(jié)論．

解答：解：∵橢圓

x2

16

+

y2

8

=1的兩個焦點為F₁（-2

2

，0），F(xiàn)₂（2

2

，0），當(dāng)F₁M垂直于x 軸時，這樣的點M
有2個． 當(dāng)MF₂垂直于x 軸時，這樣的點M有2個．當(dāng)∠F₁MF₂  為直角時，點M恰是橢圓短軸的端點（0，，2

2

），
這樣的點M有2個，綜上，這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F₁MF₂為直角三角形，故①正確．
∵過拋物線y=2x²的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為拋物線的通徑2p，由拋物線y=2x²
的方程即x²=

1

2

y 知，p=

1

4

，2p=

1

2

，則|AB|的最小值為

1

2

，故②不正確．
∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個焦點為（c，0），一條漸近線的方程 y=

b

a

x，
故垂線方程為 y-0=-

a

b

（x-c），它與漸近線 y=

b

a

x 的交點M（

a2

c

，

ab

c

），
∴MO=

( a2 c )2+ ( ab c  )2

=

a2

=a，故③正確．
∵⊙C₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圓心為（-1，0），半徑等于1的圓．
⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圓心為（0，-1），半徑等于

2

的圓．
兩圓的圓心距等于

2

，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，故兩圓的公切線
由2條，故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查橢圓、拋物線、雙曲線、圓的性質(zhì)，兩圓的位置關(guān)系，掌握圓錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．