Question

已知函數(shù)．

（1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，且對于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，求證：．

 

Answer 1

（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是

（2）；

（3）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.（2）含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來處理；二是分離參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單.對于恒成立的問題，常用到兩個(gè)結(jié)論：（1），（2）；（3）掌握不等式的一些放縮問題.

試題解析：解：（1）由得，所以．……2分

由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，

由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是

（2）由可知是偶函數(shù).

于是對任意成立等價(jià)于對任意成立．

由得．

①當(dāng)時(shí)，．

此時(shí)在上單調(diào)遞增．故，符合題意．

②當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

 

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（3），

，

，，…，

由此得，

故．

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2、恒成立的問題；3、證明不等式.