已知函數(shù)f(x)=x
3+ax
2+bx+c在x=
與x=1時都取得極值.
(1)求a、b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對
,不等式f(x)<c
2恒成立,求c的取值范圍.
(1)遞增區(qū)間是(-¥,-
)與(1,+¥),遞減區(qū)間是(-
,1);
(2)c<-1或c>2.
本試題主要考查了導數(shù)在函數(shù)中的運用。
解:(1)
f(x)=
x3+ax2+bx+c,f¢(x)=
3x2+2ax+b由
f¢()=
,f¢(1)=3
+2a+b=
0得
a=
,b=
-2f¢(x)=3x
2-x-2=(3x+2)(x-1),函數(shù)
f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:
x
| (-¥,-)
| -
| (-,1)
| 1
| (1,+¥)
|
f¢(x)
| +
| 0
| -
| 0
| +
|
f(x)
|
| 極大值
| ¯
| 極小值
|
|
所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-¥,-
)與(1,+¥),遞減區(qū)間是(-
,1)
(2)f(x)=x
3-
x
2-2x+c,xÎ〔-1,2〕,當x=-
時,
f(x)=
+c
為極大值,而
f(2)=2+c,則
f(2)=2+c為最大值。要使
f(x)<c
2(xÎ〔-1,2〕)恒成立,只需c
2>
f(2)=2+c,解得c<-1或c>2
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知
函數(shù)
。
(1)求函數(shù)
在區(qū)間
上最小值
;
(2)對(1)中的
,若關于
的方程
有兩個不同的實數(shù)解,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若點A
,B
,C
,從左到右依次是函數(shù)
圖象上三點,且這三點不共線,求證:
是鈍角三角形。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
(
),
的導數(shù)為
,且
的圖像過點
(1)求函數(shù)
的解析式;
(2)設函數(shù)
,若
在
的最小值是2,求實數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)已知函數(shù)
(1)若函數(shù)
在
上為增函數(shù),求正實數(shù)
的取值范圍;
(2)討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(3)當
時,求證:對大于
的任意正整數(shù)
,都有
。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知定義在R 上的可導函數(shù)
滿足:當
時,
;當
時,
.則下列結論:①
②
③
④
其中成立的個數(shù)是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設函數(shù)
(1)當
時,求曲線
處的切線方程;
(2)當
時,求
的極大值和極小值;
(3)若函數(shù)
在區(qū)間
上是增函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
.
(Ⅰ)若曲線
在點
處的切線與直線
垂直,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對于
都有
成立,試求
的取值范圍;
(Ⅲ)記
.當
時,函數(shù)
在區(qū)間
上有兩個零點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是
。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是
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