【題目】如圖所示，三棱錐中，平面平面，是邊長為4,的正三角形，是頂角 的等腰三角形，點為上的一動點．

（1）當時，求證：；

（2）當直線與平面所成角為時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明；取中點為，連接，，由為正三角形知，由余弦定理可證，即平面，即可證明 ；

（2）以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦值.

（1）證明；取中點為，連接，，

由為正三角形知，

在中，可得，

中，由余弦定理可得，

從而，即，

所以平面，

于是 ，即 ；

（2）由（1）知平面，則與平面的夾角為，

在直角中，可得，則點為線段的中點，

以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（由（1）知點為靠近的三等分點）,

則點，

從而，，，

于是，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即，不妨取，得，

又平面的一個法向量為，

從而，

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，，直線：（為參數(shù)，）.

（Ⅰ）求直線的普通方程；

（Ⅱ）在曲線上求一點，使它到直線的距離最短，并求出點的極坐標.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，A，B，C為函數(shù)的圖象上的三點，它們的橫坐標分別是t、t+2、t+4，其中t≥1，

.

（1）設(shè)△ABC的面積為S，求S＝f（t）；

（2）判斷函數(shù)S＝f（t）的單調(diào)性；

（3）求S＝f（t）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點分別為，離心率為，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點M（0，-1），直線l經(jīng)過點N（2，1）且與橢圓C相交于A,B兩點（異于點M），記直線MA的斜率為，直線MB的斜率為，證明 為定值，并求出該定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某高三年級在一次理科綜合檢測中統(tǒng)計了部分“住校生”和“非住校生”共20人的物理、化學(xué)的成績制成下列散點圖（物理成績用表示，化學(xué)成績用表示）（圖1）和生物成績的莖葉圖（圖2）.

（圖1）

住校生 非住校生

2 6

9 8 5 4 4 3 1 7 4 5 7 7 9 9

6 5 8 2 2 5 7

（圖2）

（1）若物理成績高于90分，我們視為“優(yōu)秀”，那么以這20人為樣本，從物理成績優(yōu)秀的人中隨機抽取2人，求至少有1人是住校生的概率；

（2）若化學(xué)成績高于80分，我們視為“優(yōu)秀”，根據(jù)圖1完成如下列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為優(yōu)秀率與住校有關(guān)；

住校

非住校

優(yōu) 秀

非優(yōu)秀

附：（,其中）

（3）若生物成績高于75分，我們視為“良好”，將頻率視為概率，若從全年級學(xué)生中任選3人，記3人中生物成績?yōu)椤傲己谩钡膶W(xué)生人數(shù)為隨機變量，求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.

（I）在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；

(II)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）時間經(jīng)過（時），時針、分針各轉(zhuǎn)了多少度？各等于多少弧度？

（2）有人說，鐘的時針和分針一天內(nèi)會重合24次。你認為這種說法是否正確？請說明理由.

（提示：從午夜零時算起，假設(shè)分針走了t min會與時針重合，一天內(nèi)分針和時針會重合n次，建立t關(guān)于n的函數(shù)解析式，并畫出其圖象，然后求出每次重合的時間）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.已知曲線： （為參數(shù)）， ：（為參數(shù)）.

（1）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）直線的極坐標方程為，若上的點對應(yīng)的參數(shù)為，為上的動點，求線段的中點到直線距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，為參數(shù)，且.

（Ⅰ）當時，判斷函數(shù)是否有極值.

（Ⅱ）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍.

（Ⅲ）若對（Ⅱ）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

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