Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥平面ABC,△ABC為正三角形，側(cè)面AA₁C₁C是正方形, E是的中點(diǎn),F是棱CC₁上的點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，求正方形AA₁C₁C的邊長(zhǎng)；
（2）當(dāng)A₁F+FB最小時(shí)，求證：AE⊥平面A₁FB.

Answer 1

（1）2；（2）參考解析

試題分析：（1）依題意可得△EAB的面積為定值，點(diǎn)F到平面EAB的距離為定值即為點(diǎn)C到平面平面的距離.又因?yàn)椤鰽BC為正三角形，側(cè)面AA₁C₁C是正方形，所以假設(shè)正方形AA₁C₁C為x，再根據(jù)等式，即可求出結(jié)論.
（2）因?yàn)楫?dāng)A₁F+FB最小時(shí)，即需要將三棱柱的側(cè)面展開，通過(guò)計(jì)算得到符合條件的F為中點(diǎn).由線面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為線線垂直，由條件的即可證得.解（二）通過(guò)線段長(zhǎng)的計(jì)算得到直角三角形，從而得到線與線垂直，也可行.
試題解析：（1）設(shè)正方形AA₁C₁C的邊長(zhǎng)為由于E是的中點(diǎn)，△EAB的面積為定值.
∥平面，點(diǎn)F到平面EAB的距離為定值即為點(diǎn)C到平面平面的距離
又，且=.即，. 
（2）解法一：將側(cè)面展開到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)使得最小.此時(shí)平行且等于的一半,

為的中點(diǎn).
取AB中點(diǎn)O，連接OE,EF，OC，為平行四邊形，

△ABC為正三角形，，又平面ABC，,且,平面,平面，
,又∥,由于E是的中點(diǎn)，所以,又,
所以直線AE與平面垂直
解法二：將側(cè)面展開到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)使得最小.此時(shí)平行且等于的一半,為的中點(diǎn).
過(guò)點(diǎn)作交于，則是的中點(diǎn)，.
過(guò)點(diǎn)作交于，則
又于是在中，
在中，
在中，， ∴
由于E是的中點(diǎn)，所以,又,
所以直線AE與平面垂直