Question

【題目】設(shè)拋物線：上一點到焦點的距離為5．

（1）求拋物線的方程；

（2）過點的直線與拋物線交于兩點, 過點作直線的垂線，垂足為，判斷：三點是否共線，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）三點共線，理由見解析

【解析】

（1）解法一，利用焦半徑公式直接求得值，解法二，根據(jù)點在拋物線上和兩點間的距離，列方程組求解；（2）解法一，分直線的斜率不存在和存在兩種情況，斜率不存在時和斜率存在時，利用直線方程和拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系驗證，說明三點共線，解法二，設(shè)直線與拋物線方程聯(lián)立，利用說明三點共線，解法三，設(shè)直線與拋物線方程聯(lián)立，利用，說明三點共線.

（1）解法1: 由已知得 ，，

拋物線的方程為

解法2: 由已知得

解得

或

又

拋物線的方程為

（2）解法1: 易知直線的斜率為0時. 直線與拋物線交于一點,不合題意.

(1)當(dāng)直線的斜率不存在時，則,

,.

,

三點共線

(2)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)：.

,消整理得

設(shè),,則

.

,

三點共線.

綜上(1) (2)知三點共線

（2）解法2: 易知直線的斜率為0時. 直線與拋物線交于一點,不合題意.

可設(shè)直線.

由,得.

設(shè)，則

則,

又

,

三點共線

（2）解法3: 易知直線的斜率為0時. 直線與拋物線交于一點,不合題意.

可設(shè)直線.

由,得.

設(shè)，則

則,

又有公共點,

三點共線