Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過(guò)點(diǎn)P（1，0），且在點(diǎn)P處的切線斜率為2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅲ）對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，不等式f（x）≤2x-2是否恒成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x+ax²+blnx（x＞0）
∴f′(x)=1+2ax+

b

x

，
∵y=f（x）在點(diǎn)P（1，0）處的切線斜率為2，
∴

f(1)=0 f′(1)=2

即

1+a=0 1+2a+b=2

解得

a=-1 b=3

，
∴a=-1，b=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x-x²+3lnx（x＞0）
得f′(x)=1-2x+

3

x

=

-2x2+x+3

x

，
即f′(x)=

(-2x+3)(x+1)

x

由x＞0可得，
當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，解得0＜x＜

3

2

，
當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，解得x＞

3

2

．
列表可得：
故f（x）只有極大值點(diǎn)，且極大值點(diǎn)為x=

3

2

．
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-2x+2，得g（x）=-x²-x+2+3lnx（x＞0），
∴g′(x)=-2x-1+

3

x

=

-2x2-x+3

x

，
即g′(x)=

(2x+3)(-x+1)

x

．
由x＞0可得，
當(dāng)g'（x）＞0時(shí)，解得0＜x＜1；
當(dāng)g'（x）＜0時(shí)，x＞1．
列表可得：
由表可知g（x）的最大值為g（1）=0．
即g（x）≤0恒成立，因此f（x）≤2x-2恒成立．