【題目】已知動圓P經(jīng)過點,并且與圓相切.
(Ⅰ)求圓心P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)O是坐標原點,過點的直線與C交于A,B兩點,在C上是否存在點Q,使得四邊形是平行四邊形?
【答案】(1) ;
(2) 直線為或時,橢圓C上存在點Q,否則不存在.
【解析】
(1) 由橢圓的定義可得,P的軌跡是以M,N為焦點的橢圓,進而求出方程.
(2) 假設(shè)存在,根據(jù)平行四邊形已知三個點坐標,表示Q的坐標,設(shè)直線方程,聯(lián)立直線和橢圓方程,利用韋達定理整理Q的坐標,根據(jù)Q在橢圓上,求得直線方程.
(1) 由題意可得N在圓M內(nèi)部,所以兩圓內(nèi)切,
所以,
由橢圓的定義可知,點的軌跡是以,為焦點的橢圓,
設(shè)橢圓方程為,
其中,,
所以,
所以點的軌跡的方程為.
(2) 假設(shè)C上存在點Q,使得四邊形是平行四邊形,
由題意可知,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為:
設(shè)直線與橢圓C的交點,
則
聯(lián)立可得,
由韋達定理可得,
所以,
點 Q在橢圓C上,所以,
解得
綜上可得,直線為或時,
橢圓C上存在點Q,使得四邊形是平行四邊形,否則不存在.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標原點為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.
(1)若點在直線上,求直線的極坐標方程;
(2)已知,若點在直線上,點在曲線上,且的最小值為,求的值.
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【題目】某學(xué)校數(shù)學(xué)建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度(每層玻璃的厚度相同)及兩層玻璃間夾空氣層厚度對保溫效果的影響,利用熱傳導(dǎo)定律得到熱傳導(dǎo)量滿足關(guān)系式,其中玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/(厘米·度),不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/(厘米·度),為室內(nèi)外溫度差,值越小,保溫效果越好,現(xiàn)有4種型號的雙層玻璃窗戶,具體數(shù)據(jù)如下表:
型號 | 每層玻璃厚度(單位:厘米) | 玻璃間夾空氣層厚度(單位:厘米) |
型 | 0.4 | 3 |
型 | 0.3 | 4 |
型 | 0.5 | 3 |
型 | 0.4 | 4 |
則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是( )
A.型B.型C.型D.型
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【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,A1D與AD1交于點E,AA1=AD=2AB=4.
(1)證明:AE⊥平面ECD;
(2)求點C1到平面AEC的距離.
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【題目】已知四面體中,棱,所在直線所成角為,且,,,面和面所成的銳二面角為,面和面所成的銳二面角為,當四面體的體積取得最大值時( ).
A.B.C.D.不能確定
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【題目】如圖1,在四邊形中,,,,,,是上的點,,為的中點.將沿折起到的位置,使得,如圖2.
(1)求證:平面平面;
(2)點在線段上,當直線與平面所成角的正弦值為時,求二面角的余弦值.
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【題目】2020年4月8日,武漢市雷神山醫(yī)院為確診新型冠狀病毒肺炎患者,需要檢測核酸是否為陽性,現(xiàn)有份核酸樣本,有以下兩種檢測方式:(1)逐份檢測,則需要檢測次;(2)混合檢測,將其中(,且)份核酸樣本分別取樣混合在一起檢測,若檢測結(jié)果為陰性,這份核酸樣本全為陰性,因而這份核酸樣本只要檢測一次就夠了,如果檢測結(jié)果為陽性,為了明確這份核酸樣本究竟哪幾份為陽性,就要對這份樣本再逐份檢測,此時這份核酸樣本的檢測次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中,每份樣本的檢測結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.
(1)假設(shè)有5份核酸樣本,其中只有2份樣本為陽性,若采用逐份檢測方式,求恰好經(jīng)過4次檢測就能把陽性樣本全部檢測出來的概率.
(2)現(xiàn)取其中(,且)份核酸樣本,記采用逐份檢測方式,樣本需要檢測的總次數(shù)為,采用混合檢測方式,樣本需要檢測的總次數(shù)為.
①試運用概率統(tǒng)計的知識,若,試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
②若,用混合檢測方式可以使得樣本需要檢測的總次數(shù)的期望值比逐份檢測的總次數(shù)期望值更少,求的最大值.
參考數(shù)據(jù):
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【題目】從年底開始,非洲東部的肯尼亞等國家爆發(fā)出了一場嚴重的蝗蟲災(zāi)情.目前,蝗蟲已抵達烏干達和坦桑尼亞,并向西亞和南亞等地區(qū)蔓延.蝗蟲危害大,主要危害禾本科植物,能對農(nóng)作物造成嚴重傷害,每只蝗蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān),現(xiàn)收集了以往某地的組數(shù)據(jù),得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
平均溫度 | |||||||
平均產(chǎn)卵數(shù)個 |
表中,.
(1)根據(jù)散點圖判斷,與(其中為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求出關(guān)于的回歸方程.(結(jié)果精確到小數(shù)點后第三位)
(2)根據(jù)以往統(tǒng)計,該地每年平均溫度達到以上時蝗蟲會造成嚴重傷害,需要人工防治,其他情況均不需要人工防治,記該地每年平均溫度達到以上的概率為.
①記該地今后年中,恰好需要次人工防治的概率為,求取得最大值時相應(yīng)的概率;
②根據(jù)①中的結(jié)論,當取最大值時,記該地今后年中,需要人工防治的次數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望和方差.
附:對于一組數(shù)據(jù)、、、,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為:,.
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【題目】中國古代十進制的算籌計數(shù)法,在數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造,算籌實際上是一根根同長短的小木棍.如圖,是利用算籌表示數(shù)1-9的一種方法.例如:3可表示為“≡”,26可表示為“=⊥”,現(xiàn)有6根算籌,據(jù)此表示方法,若算籌不能剩余,則可以用1-9這9個數(shù)字表示兩位數(shù)中,能被3整除的概率是( )
A.B.C.D.
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