【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,A1D與AD1交于點E,AA1=AD=2AB=4.
(1)證明:AE⊥平面ECD;
(2)求點C1到平面AEC的距離.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)由四邊形ABCD是矩形,得到CD⊥AD,再由面面垂直的性質(zhì),證得CD⊥AE,結(jié)合線面垂直的判定定理,即可得到AE⊥平面ECD.;
(2)連接CD1,得到點C1到平面AEC的距離即為點C1到平面ACD1的距離, 利用“等體積法”,結(jié)合V,即可求得點C1到平面AEC的距離.
(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴CD⊥AD,
∵AA1⊥平面ABCD,CD平面ABCD,∴AA1⊥CD,
又AA1∩AD=A,∴CD⊥平面ADD1A1,∴CD⊥AE,
∵四邊形ADD1A1是平行四邊形,∴E是A1D的中點,
∵AA1=AD,∴AE⊥DE,又CD∩DE=D,∴AE⊥平面ECD.
(2)連接CD1,則點C1到平面AEC的距離即為點C1到平面ACD1的距離,
在△ACD1中,AC=2,AD1=4,CD1=2,
∴CE⊥AD1,且CE2,
∴S4,
設(shè)C1到平面ACD1的距離為h,則V,
又V,
所以4h=16,即h,∴點C1到平面AEC的距離為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知鮮切花的質(zhì)量等級按照花枝長度進行劃分,劃分標(biāo)準(zhǔn)如下表所示.
花枝長度 | |||
鮮花等級 | 三級 | 二級 | 一級 |
某鮮切花加工企業(yè)分別從甲乙兩個種植基地購進鮮切花,現(xiàn)從兩個種植基地購進的鮮切花中分別隨機抽取30個樣品,測量花枝長度并進行等級評定,所抽取樣品數(shù)據(jù)如圖所示.
(1)根據(jù)莖葉圖比較兩個種植基地鮮切花的花枝長度的平均值及分散程度(不要求計算具體值,給出結(jié)論即可);
(2)若從等級為三級的樣品中隨機選取2個進行新產(chǎn)品試加工,求選取的2個全部來自乙種植基地的概率;
(3)根據(jù)該加工企業(yè)的加工和銷售記錄,了解到來自乙種植基地的鮮切花的加工產(chǎn)品的單件利潤為4元;來自乙種植基地的鮮切花的加工產(chǎn)品的單件成本為10元,銷售率(某等級產(chǎn)品的銷量與產(chǎn)量的比值)及單價如下表所示.
三級花加工產(chǎn)品 | 二級花加工產(chǎn)品 | 一級花加工產(chǎn)品 | |
銷售率 | |||
單價/(元/件) | 12 | 16 | 20 |
由于鮮切花加工產(chǎn)品的保鮮特點,未售出的產(chǎn)品均可按原售價的50%處理完畢.用樣本估計總體,如果僅從單件產(chǎn)品的利潤的角度考慮,該鮮切花加工企業(yè)應(yīng)該從哪個種植基地購進鮮切花?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若存在與函數(shù),的圖象都相切的直線,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年新型冠狀病毒肺炎(簡稱“新冠肺炎”)成為威脅全球的公共衛(wèi)生問題,中醫(yī)藥在本次新冠肺炎的治療中發(fā)揮了重要作用.研究人員對66例普通型新冠肺炎恢復(fù)期患者進行了中醫(yī)臨床特征分析,發(fā)現(xiàn)主要證型有氣陰兩虛證與肺脾氣虛證,同時可能兼夾濕證.為研究這兩種主要證型在兼夾濕證的難易上是否有差異,研究人員將濕證癥狀分級量化,將所有肺脾氣虛證患者的量化分作成莖葉圖.
(1)若量化分不低于16分,即可診斷為兼夾濕證,請參考莖葉圖,完成下面列聯(lián)表.
夾濕證 | 非夾濕證 | 合計 | |
氣陰兩虛 | 20 | ||
肺脾氣虛 | |||
合計 | 66 |
(2)根據(jù)此資料,能否有99%的把握認(rèn)為兩種主要證型在兼夾濕證的難易上有差異?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的焦點為,是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點,直線經(jīng)過焦點且與拋物線相交于、兩點,直線、分別交軸于、兩點,記、的面積分別為、.
(1)求證:;
(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓P經(jīng)過點,并且與圓相切.
(Ⅰ)求圓心P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)O是坐標(biāo)原點,過點的直線與C交于A,B兩點,在C上是否存在點Q,使得四邊形是平行四邊形?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直角梯形ABCD中,,,,將直角梯形ABCD(及其內(nèi)部)以AB所在直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)90°,形成如圖所示的幾何體,其中M為的中點.
(1)求證:;
(2)求異面直線BM與EF所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的曲線,它是由德國機械工程專家、機構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn),其作法是:以等邊三角形每個頂點為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點間作一段弧,三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.如圖中的兩個勒洛三角形,它們所對應(yīng)的等邊三角形的邊長比為,若從大的勒洛三角形中隨機取一點,則此點取自小勒洛三角形內(nèi)的概率是( )
A.B.C.D.
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