Question

已知x，y∈R，x＞0，若（x+yi）²=y+xi，則（x+yi）²⁰⁰⁰的值是

 

．

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：x，y∈R，x＞0，y+xi=（x+yi）²=x²-y²+2xyi，利用復(fù)數(shù)相等解得y=

1

2

，x=

3

2

．可得x+yi=

3

2

+

1

2

i=cos

π

6

+isin

π

6

，利用（x+yi）²=cos

π

3

+isin

π

3

=

1

2

+

3

2

i，（x+yi）⁶=cosπ+isinπ=-1．及其棣模佛定理即可得出．

解答： 解：∵x，y∈R，x＞0，y+xi=（x+yi）²=x²-y²+2xyi，
∴y=x²-y²，x=2xy，
解得y=

1

2

，x=

3

2

．
∴x+yi=

3

2

+

1

2

i=cos

π

6

+isin

π

6

，
∴（x+yi）²=cos

π

3

+isin

π

3

=

1

2

+

3

2

i，（x+yi）⁶=cosπ+isinπ=-1．
∴（x+yi）²⁰⁰⁰=（x+yi）^6×333•（x+yi）²=（-1）³³³(

1

2

+

3

2

i)=-

1

2

-

3

2

i．
故答案為：-

1

2

-

3

2

i．

點評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的三角形式、棣模佛定理，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．