Question

設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;

（2）當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（3）在（2）的條件下,設(shè)函數(shù),若對于,,使成立,求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間

（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到;（3）對于恒成立的問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1），（2）.

試題解析：解:函數(shù)的定義域為,

（1）當(dāng)時，，，

∴在處的切線方程為

當(dāng)，或，，當(dāng)時，

故當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間

當(dāng)時，由以上知函數(shù)在上為減函數(shù)，所以在上的最小值

若對于使成立在上的最小值不大于在[1,2]上的最小值（*）

又

①當(dāng)時，在上為減函數(shù)，矛盾

②當(dāng)時，，由及得，

③當(dāng)時，在上為減函數(shù)，

此時

綜上，的取值范圍為.

考點：（1）求曲線的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）恒成立的問題.