【題目】如圖,在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是BC的中點,F(xiàn)是棱CD上的動點,G為C1D1的中點,H為A1G的中點.

(1)當點F與點D重合時,求證:EF⊥AH;
(2)設(shè)二面角C1﹣EF﹣C的大小為θ,試確定點F的位置,使得sin θ=

【答案】
(1)證明:以點A為坐標原點,建立如圖(2)所示的空間直角坐標系,

則A1(0,0,1),C1(1,1,1),D(0,1,0),E ,

G ,H ,

設(shè)F(x,1,0)(0≤x≤1),當點F與點D重合時,易知F(0,1,0),

= , =

=0,∴EF⊥AH.


(2)解:易知 = = ,且x≠1.

設(shè) =(a,b,c)是平面C1EF的法向量,則 ,∴ ,

令c=1,則平面C1EF的一個法向量 =

=(0,0,1)是平面EFC的一個法向量,

∴cos< , >= =

∵sin θ= ,θ為銳角,∴cosθ=

= ,解得x= 或x= (舍去).

故當F是CD的中點時,sin θ=


【解析】(1)以點A為坐標原點,建立如圖(2)所示的空間直角坐標系,設(shè)F(x,1,0)(0≤x≤1),當點F與點D重合時,易知F(0,1,0),只要證明 =0,即可得出EF⊥AH.(2)sin θ= ,θ為銳角,可得cosθ= .設(shè) =(a,b,c)是平面C1EF的法向量,則 ,可得平面C1EF的一個法向量 = .又 =(0,0,1)是平面EFC的一個法向量,利用cos< , >= ,解出即可得出.
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關(guān)系是解答本題的根本,需要知道相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.

練習冊系列答案
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1)求的值;

2)從盒子中隨機抽取3個小球,其中重量在[5,15]內(nèi)的小球個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望. (以直方圖中的頻率作為概率).

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【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx,g(x)=2x﹣1.
(1)當a=1時,若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方,試求實數(shù)b 的取值范圍;
(2)若y=f(x)對任意的x∈R均有f(x﹣2)=f(﹣x)成立,且f(x)的圖象經(jīng)過 點A(1, ).
①求函數(shù)y=f(x)的解析式;
②若對任意x<﹣3,都有2k <g(x)成立,試求實數(shù)k的最小值.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣alnx+
(1)若a=1,求f(x)在x∈[1,3]的最值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)<0成立,求a的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)f(x)= +a是奇函數(shù)
(1)求常數(shù)a的值
(2)判斷f(x)的單調(diào)性并給出證明
(3)求函數(shù)f(x)的值域.

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【題目】某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬訂的價格進行試銷得到如下數(shù)據(jù):

單價x(元)

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷量y(件)

92

82

83

80

75

68


(1)求出y關(guān)于x的線性回歸方程 .其中 =250
(2)預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(I)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元每件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元?

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【題目】在某次水下科研考察活動中,需要潛水員潛入水深為60米的水底進行作業(yè),根據(jù)以往經(jīng)驗,潛水員下潛的平均速度為(米/單位時間),每單位時間的用氧量為(升),在水底作業(yè)10個單位時間,每單位時間用氧量為0.9(升),返回水面的平均速度為(米/單位時間),每單位時間用氧量為1.5(升),記該潛水員在此次考察活動中的總用氧量為(升).

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(2)若 ,求當下潛速度取什么值時,總用氧量最少.

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