【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,且AD=2BC,過A1、C、D三點的平面記為α,BB1與α的交點為Q.
(1)證明:Q為BB1的中點;
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比;
(3)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面積為6,求平面α與底面ABCD所成二面角的大。
【答案】
(1)證明:∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,
∴平面QBC∥平面A1D1DA,
∴平面A1CD與面QBC、平面A1D1DA的交線平行,∴QC∥A1D
∴△QBC∽△A1AD,
∴ = ,
∴Q為BB1的中點;
(2)解:連接QA,QD,設AA1=h,梯形ABCD的高為d,四棱柱被平面α所分成上、下兩部分的體積為V1,V2,
設BC=a,則AD=2a,∴ = = ,VQ﹣ABCD= = ahd,
∴V2= ,
∵V棱柱= ahd,
∴V1= ahd,
∴四棱柱被平面α所分成上、下兩部分的體積之比 ;
(3)解:在△ADC中,作AE⊥DC,垂足為E,連接A1E,則DE⊥平面AEA1,∴DE⊥A1E,
∴∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角,
∵BC∥AD,AD=2BC,
∴S△ADC=2S△ABC,
∵梯形ABCD的面積為6,DC=2,
∴S△ADC=4,AE=4,
∴tan∠AEA1= =1,
∴∠AEA1= ,
∴平面α與底面ABCD所成二面角的大小為 .
【解析】(1)證明平面QBC∥平面A1D1DA,可得△QBC∽△A1AD,即可證明Q為BB1的中點;(2)設BC=a,則AD=2a,則 = = ,VQ﹣ABCD= = ahd,利用V棱柱= ahd,即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下兩部分的體積之比;(3)△ADC中,作AE⊥DC,垂足為E,連接A1E,則DE⊥平面AEA1 , DE⊥A1E,可得∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角,求出S△ADC=4,AE=4,可得tan∠AEA1= =1,即可求平面α與底面ABCD所成二面角的大。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.
(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元,其余3個均為10元,求:
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率;
②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望;
(2)商場對獎勵總額的預算是60000元,并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成,或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】市某機構為了調查該市市民對我國申辦年足球世界杯的態(tài)度,隨機選取了位市民進行調查,調查結果統(tǒng)計如下:
支持 | 不支持 | 總計 | |
男性市民 | |||
女性市民 | |||
總計 |
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫完整;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為支持申辦年足球世界杯與性別有關?請說明理由.
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=1+(1+a)x﹣x2﹣x3 , 其中a>0.
(1)討論f(x)在其定義域上的單調性;
(2)當x∈[0,1]時,求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,曲線是一條居民平時散步的小道,小道兩旁是空地,當?shù)卣疄榱素S富居民的業(yè)余生活,要在小道兩旁規(guī)劃出兩地來修建休閑活動場所,已知空地和規(guī)劃的兩塊用地(陰影區(qū)域)都是矩形,,,,若以所在直線為軸,為原點,建立如圖平面直角坐標系,則曲線的方程為,記,規(guī)劃的兩塊用地的面積之和為.(單位:)
(1)求關于的函數(shù);
(2)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為,且圖象上一個最低點為.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)當,求的值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準線分別交于O、A、B三點,O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為 ,則p=( )
A.1
B.
C.2
D.3
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