Question

【題目】為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額．
（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率；
②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)顧客所獲取的獎勵額為X，

①依題意，得P（X=60）= ，

即顧客所獲得獎勵額為60元的概率為 ，

②依題意得X得所有可能取值為20，60，

P（X=60）= ，P（X=20）= ，

即X的分布列為

X	60	20
P

所以這位顧客所獲的獎勵額的數(shù)學(xué)期望為E（X）=20× +60× =40

（2）解：根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元，所以先尋找期望為60元的可能方案．

對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10，10，10，50）的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以數(shù)學(xué)期望不可能為60元，

如果選擇（50，50，50，10）的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以數(shù)學(xué)期望也不可能為60元，

因此可能的方案是（10，10，50，50）記為方案1，

對于面值由20元和40元的組成的情況，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），記為方案2，

以下是對這兩個方案的分析：

對于方案1，即方案（10，10，50，50）設(shè)顧客所獲取的獎勵額為X1，則X1的分布列為

X1	60	20	100
P

X1 的數(shù)學(xué)期望為E（X1）= ．

X1 的方差D（X1）= = ，

對于方案2，即方案（20，20，40，40）設(shè)顧客所獲取的獎勵額為X2，則X2的分布列為

X2	40	60	80
P

X2 的數(shù)學(xué)期望為E（X2）= =60，

X2 的方差D（X2）=差D（X1） = ．

由于兩種方案的獎勵額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1小，所以應(yīng)該選擇方案2．

【解析】（1）根據(jù)古典概型的概率計算公式計算顧客所獲的獎勵額為60元的概率，依題意得X得所有可能取值為20，60，分別求出P（X=60），P（X=20），畫出顧客所獲的獎勵額的分布列求出數(shù)學(xué)期望；（2）先討論，尋找期望為60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）兩種方案，分別求出數(shù)學(xué)期望和方差，然后做比較，問題得以解決．
【考點精析】掌握離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．