Question

【題目】如圖，在平行六面體中，底面是菱形，四邊形是矩形．

(1)求證: ；

(2)若點在棱上，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接交于點，由菱形的性質(zhì)得出，由矩形的性質(zhì)得出，結(jié)合，得出，再利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，于是得出；

（2）先證明平面，再由得知、、兩兩相互垂直，建立以點為原點，、、所在直線為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面和平面的法向量，再利用向量法求出二面角的余弦值．

（1）連接交于點，

因為底面是菱形，所以，，且為的中點，

因為四邊形是矩形，所以，，

在平行六面體中，，所以，，

因為、平面，，

所以，平面，

平面，；

（2），且為的中點，所以，，

平面，所以，平面平面，

因為平面平面，平面，

，，所以，、、兩兩相互垂直，

分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

又因為，，，所以，，，

所以、、、、，

所以，，，，

所以，，，

設(shè)平面的一個法向量為，則有，即，

取，則，，

易得平面的一個法向量為，

所以，，所以，二面角的余弦值為．