過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若存在直線使坐標(biāo)原點(diǎn)O恰好在以AB為直徑的圓上,則橢圓的離心率取值范圍是( 。
分析:設(shè)l:x=-c+my代入橢圓方程,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2為整理后的方程的兩個根,利用韋達(dá)定理結(jié)合OA⊥OB,可得到a,b,c之間的關(guān)系式,從而可求得橢圓的離心率取值范圍.
解答:解:設(shè)l:x=-c+my代入橢圓方程得:
(-c+my)2
a2
+
y2
b2
=1,
整理得:(b2m2+a2)y2-2mcb2y-b4=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2為上述方程的兩個根,
∴y1+y2=
2mcb2
b2m2+a2
,y1y2=-
b4
b2m2+a2
,①
∵OA⊥OB,
∴(-c+my1)(-c+my2)+y1y2=0.
∴c2-mc(y1+y2)+(m2+1)y1y2=0,將①代入,整理得:
a2c2-(c2b2+b4)m2-b4=0,
∴(c2b2+b4)m2=a2c2-b4≥0,
∴a2c2≥(a2-c22,又e=
c
a
,
∴e4-3e2+1≤0,
3-
5
2
≤e2
3+
5
2
,而0<e<1,
3-
5
2
≤e2<1,
5
-1
2
≤e<1.
故選D.
點(diǎn)評:本題考查橢圓的性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,突出考查韋達(dá)定理的作用,考查垂直關(guān)系的應(yīng)用,考查抽象思維與綜合運(yùn)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
,(a>b>0)的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2,|F1F2|=4
2
,離心率e=
2
2
3
.過直線l:x=
a2
c
上任意一點(diǎn)M,引橢圓C的兩條切線,切點(diǎn)為A、B.
(1)在圓中有如下結(jié)論:“過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為:x0x+y0y=r2”.由上述結(jié)論類比得到:“過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程”(只寫類比結(jié)論,不必證明).
(2)利用(1)中的結(jié)論證明直線AB恒過定點(diǎn)(2
2
,0
);
(3)當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1時,求△ABM的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•寧波模擬)已知:圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的兩焦點(diǎn),與橢圓有且僅有兩個公共點(diǎn):直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切,與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
相交于A,B兩點(diǎn)記λ=
OA
OB
,且
2
3
≤λ≤
3
4

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求k的取值范圍;
(Ⅲ)求△OAB的面積S的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn),與橢圓有且僅有兩個公共點(diǎn):直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切,與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A,B兩點(diǎn)記λ=
OA
OB
,且
2
3
≤λ≤
3
4
,
(1)求橢圓的方程;
(2)求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(如圖)過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB;若點(diǎn)M在x軸上,且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線,則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”.
(1)求橢圓
x2
5
+y2
=1的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo).
(2)試根據(jù)(1)中的結(jié)論猜測:橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的“左特征點(diǎn)”M是一個怎么樣的點(diǎn)?并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左頂點(diǎn)A做圓x2+y2=b2的切線,切點(diǎn)為B,延長AB交拋物線于y2=4ax于點(diǎn)C,若點(diǎn)B恰為A、C的中點(diǎn),則
a
b
的值為
1+
5
2
1+
5
2

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同步練習(xí)冊答案