已知:圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩焦點,與橢圓有且僅有兩個公共點:直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切,與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A,B兩點記λ=
OA
OB
,且
2
3
≤λ≤
3
4
,
(1)求橢圓的方程;
(2)求k的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩焦點,可求出a,因為圓x2+y2=1與橢圓有且僅有兩個公共點,可求出b,橢圓的方程可知.
(2)利用直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切,可把m用k表示,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,把λ用k表示,根據(jù)λ的范圍,即可求出k的范圍.
解答:解:(1)由題意知2c=2,c=1,
∵圓與橢圓有且只有兩個公共點,∴b=1,∴a=
2

∴橢圓的方程為
x2
2
+y2=1
;
(2)∵直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切,∴原點O到直線的距離為
|m|
1+k2
=1
,即m2=k2+1
把直線y=kx+m代入橢圓方程,消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
-4km
1+2k2
,x1x2=
2m2-2
1+2k2

λ=
OA
OB
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)•
2m2-2
1+2k2
+km•
2m2-2
1+2k2
+m2=
k2+1
1+2k2

2
3
≤λ≤
3
4
,∴
1
2
≤k2≤1
∴k的取值范圍為[-1,-
2
2
]∪[
2
2
,1].
點評:本題考查了橢圓方程的求法,考查橢圓與直線的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
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相交
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(2012•德陽三模)已知離心率為
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點M(
6
,1)

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知與圓x2+y2=
8
3
相切的直線l與橢圓C相交于不同兩點A、B,O為坐標原點,求
OA
OB
的值.

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