過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)A做圓x2+y2=b2的切線，切點(diǎn)為B，延長AB交拋物線于y2=4ax于點(diǎn)C，若點(diǎn)B恰為A、C的中點(diǎn)，則
a
b
的值為
1+
5
2
1+
5
2
．
分析：由拋物線于y2=4ax得到焦點(diǎn)F（a，0），連接OB，CF．由O，B分別是線段AF，AC的中點(diǎn)，可得|CF|=2|OB|=2b，利用拋物線的定義得xC+a=2b，得到xC=2b-a，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，
由直線AC與圓x2+y2=b2的相切的性質(zhì)即可得出．
解答：解：如圖所示，
由拋物線于y2=4ax得到焦點(diǎn)F（a，0），連接OB，CF．
∵O，B分別是線段AF，AC的中點(diǎn)，∴|CF|=2|OB|=2b，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)滿足xC+a=2b，得到xC=2b-a，
由
y
2
C
=4a(2b-a)，解得yC=2
a(2b-a)
（取yC＞0）．
∴C(2b-a，2
a(2b-a)
)．
∴直線AC的方程為y=
2
a(2b-a)
2b
(x+a)，化為
a(2b-a)
x-by+a
a(2b-a)
=0．
∵直線AC與圓x2+y2=b2的相切，∴
|a
a(2b-a)
|
a(2b-a)+b2
=b，
化為（a2-ab-b2）2=0，即a2-ab-b2=0，化為(
a
b
)2-(
a
b
)-1=0．又∵
a
b
＞1．
解得
a
b
=
1+
5
2
．
故答案為
1+
5
2
．
點(diǎn)評：熟練掌握圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．本題需要較強(qiáng)的計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，|F1F2|=4
2
，離心率e=
2
2
3
．過直線l：x=
a2
c
上任意一點(diǎn)M，引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．
（1）在圓中有如下結(jié)論：“過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為：x0x+y0y=r2”．由上述結(jié)論類比得到：“過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程”（只寫類比結(jié)論，不必證明）．
（2）利用（1）中的結(jié)論證明直線AB恒過定點(diǎn)（2
2
，0）；
（3）當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1時，求△ABM的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•寧波模擬）已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個公共點(diǎn)：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點(diǎn)記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）求△OAB的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個公共點(diǎn)：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點(diǎn)記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
，
（1）求橢圓的方程；
（2）求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（如圖）過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB；若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”．
（1）求橢圓
x2
5
+y2=1的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)．
（2）試根據(jù)（1）中的結(jié)論猜測：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征點(diǎn)”M是一個怎么樣的點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．

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