【題目】為了解學(xué)生寒假閱讀名著的情況,一名教師對(duì)某班級(jí)的所有學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表:

本數(shù)
人數(shù)
性別

0

1

2

3

4

5

男生

0

1

4

3

2

2

女生

0

0

1

3

3

1

(I)從這班學(xué)生中任選一名男生,一名女生,求這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的概率;
(II)若從閱讀名著不少于4本的學(xué)生中任選4人,設(shè)選到的男學(xué)生人數(shù)為 X,求隨機(jī)變量 X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(III)試判斷男學(xué)生閱讀名著本數(shù)的方差 與女學(xué)生閱讀名著本數(shù)的方差 的大小(只需寫出結(jié)論).

【答案】解:(I)全班有12個(gè)男生,8個(gè)女生,
所以男、女各選1人的方法數(shù)m=12×8=96
而這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的方法數(shù)n=1×3+4×1=7,
所以這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的概率為p=
(II)由已知隨機(jī)變量 X的可能的取值有0,1,2,3,4,
,
,
,
,

∴X的分布列為:

X

0

1

2

3

4

P

∴X的數(shù)學(xué)期望為
(III)
【解析】(I)全班有12個(gè)男生,8個(gè)女生,由此求出男、女各選1人的方法數(shù),再求出這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的方法數(shù),由此能求出這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的概率.(II)由已知隨機(jī)變量 X的可能的取值有0,1,2,3,4,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(III)利用調(diào)查表能判斷男學(xué)生閱讀名著本數(shù)的方差 與女學(xué)生閱讀名著本數(shù)的方差 的大小.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握標(biāo)準(zhǔn)差和方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差和方程為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等,數(shù)據(jù)沒有離散性;方差與原始數(shù)據(jù)單位不同,解決實(shí)際問題時(shí),多采用標(biāo)準(zhǔn)差;在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中,對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布,簡(jiǎn)稱分布列才能正確解答此題.

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