【題目】已知函數(shù)(且a為常數(shù))和(且k為常數(shù)),有以下命題:①當(dāng)時(shí),函數(shù)沒有零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),若恰有3個(gè)不同的零點(diǎn),則;③對(duì)任意的,總存在實(shí)數(shù),使得有4個(gè)不同的零點(diǎn),且成等比數(shù)列.其中的真命題是_____(寫出所有真命題的序號(hào))
【答案】②
【解析】
①根據(jù)題意,將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,分別判斷,兩種情況下,函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況,即可判斷出結(jié)果;
②根據(jù)題意,先令,畫出函數(shù)的圖像,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及函數(shù)圖像,判斷方程根的分布情況,以及方程根的個(gè)數(shù)情況,即可判斷出結(jié)果;
③根據(jù)題意,只需判斷出時(shí),函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定是個(gè),即可得出結(jié)果.
①因?yàn)?/span>,,由得,函數(shù)的零點(diǎn),即是函數(shù)圖像與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
當(dāng)時(shí),恒成立,因?yàn)?/span>,所以時(shí),函數(shù)顯然沒有零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),由得,即,即,
因?yàn)?/span>,所以恒成立,若時(shí),函數(shù)可能有零點(diǎn);若,函數(shù)沒有零點(diǎn);故①錯(cuò);
②當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>恰有個(gè)不同零點(diǎn),令,則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,記作,不妨令;
做出函數(shù)的圖像如下:
由圖像可得:當(dāng)時(shí),與有個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)時(shí),與有個(gè)交點(diǎn);
因?yàn)楹瘮?shù)恰有個(gè)不同零點(diǎn),
則有個(gè)根,記作;有個(gè)根,記作(不妨令);
所以只需,,因此,,
所以;,,因此;故②正確;
③由,得;
所以函數(shù)與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù),即為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
由②中圖像可知:當(dāng)時(shí),與在上有個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),若,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,因此函數(shù)與在上最多只有個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)在上最多只有個(gè)零點(diǎn);不滿足存在實(shí)數(shù),使得有4個(gè)不同的零點(diǎn);
若,由基本不等式可得:,即時(shí),;
若,則函數(shù)與在上最多只有個(gè)交點(diǎn),也不滿足對(duì)任意的,總存在實(shí)數(shù),使得有4個(gè)不同的零點(diǎn).故③錯(cuò).
故答案為:②.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】人口平均預(yù)期壽命是綜合反映人們健康水平的基本指標(biāo).年第六次全國人口普查資料表明,隨著我國社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,人民生活水平的不斷提高以及醫(yī)療衛(wèi)生保障體系的逐步完善,我國人口平均預(yù)期壽命繼續(xù)延長(zhǎng),國民整體健康水平有較大幅度的提高.下圖體現(xiàn)了我國平均預(yù)期壽命變化情況,依據(jù)此圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.男性的平均預(yù)期壽命逐漸延長(zhǎng)
B.女性的平均預(yù)期壽命逐漸延長(zhǎng)
C.男性的平均預(yù)期壽命延長(zhǎng)幅度略高于女性
D.女性的平均預(yù)期壽命延長(zhǎng)幅度略高于男性
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)則x∈[﹣1,e]時(shí),f(x)的最小值為_____;設(shè)g(x)=[f(x)]2﹣f(x)+a若函數(shù)g(x)有6個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著新高考改革的不斷深入,高中學(xué)生生涯規(guī)劃越來越受到社會(huì)的關(guān)注.一些高中已經(jīng)開始嘗試開設(shè)學(xué)生生涯規(guī)劃選修課程,并取得了一定的成果.如表為某高中為了調(diào)查學(xué)生成績(jī)與選修生涯規(guī)劃課程的關(guān)系,隨機(jī)抽取50名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).
成績(jī)優(yōu)秀 | 成績(jī)不夠優(yōu)秀 | 總計(jì) | |
選修生涯規(guī)劃課 | 15 | 10 | 25 |
不選修生涯規(guī)劃課 | 6 | 19 | 25 |
總計(jì) | 21 | 29 | 50 |
(1)根據(jù)列聯(lián)表運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法能否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績(jī)是否優(yōu)秀與選修生涯規(guī)劃課有關(guān)”,并說明理由;
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在選修生涯規(guī)劃課的成績(jī)優(yōu)秀和成績(jī)不夠優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生作為代表,從5名學(xué)生代表中再任選2名學(xué)生繼續(xù)調(diào)查,求這2名學(xué)生成績(jī)至少有1人優(yōu)秀的概率.
參考附表:
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考公式,其中n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著新高考改革的不斷深入,高中學(xué)生生涯規(guī)劃越來越受到社會(huì)的關(guān)注.一些高中已經(jīng)開始嘗試開設(shè)學(xué)生生涯規(guī)劃選修課程,并取得了一定的成果.下表為某高中為了調(diào)查學(xué)生成績(jī)與選修生涯規(guī)劃課程的關(guān)系,隨機(jī)抽取50名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).
成績(jī)優(yōu)秀 | 成績(jī)不夠優(yōu)秀 | 總計(jì) | |
選修生涯規(guī)劃課 | 15 | 10 | 25 |
不選修生涯規(guī)劃課 | 6 | 19 | 25 |
總計(jì) | 21 | 29 | 50 |
(Ⅰ)根據(jù)列聯(lián)表運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法能否有的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績(jī)是否優(yōu)秀與選修生涯規(guī)劃課有關(guān)”,并說明理由;
(Ⅱ)如果從全校選修生涯規(guī)劃課的學(xué)生中隨機(jī)地抽取3名學(xué)生,求抽到成績(jī)不夠優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望(將頻率當(dāng)作概率計(jì)算).
參考附表:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考公式,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),已知方程(為常數(shù))在上恰有三個(gè)根,分別為,下述四個(gè)結(jié)論:
①當(dāng)時(shí),的取值范圍是;
②當(dāng)時(shí),在上恰有2個(gè)極小值點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn);
③當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;
④當(dāng)時(shí),的取值范圍為,且
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線()上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和,焦點(diǎn)為F.線段AB的中點(diǎn)為,且A,B兩點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離之和為8.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=1,且當(dāng)n∈N*時(shí),an3+an2(1﹣an+1)+1=an+1.
(1)求a2,a3的值;
(2)比較an與an+1的大小,并證明你的結(jié)論.
(3)若bn=(1),其中n∈N*,證明:0<b1+b2+……+bn<2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣sinx+ax(a>0).
(1)若a=1,求證:當(dāng)x∈(1,)時(shí),f(x)<2x﹣1;
(2)若f(x)在(0,2π)上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍.
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