Question

x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m-1）x+m²+1=0的兩個(gè)實(shí)根，又f（x）=x₁²+x₂²
求：（1）求函數(shù)y=f（m）的解析式及定義域
（2）求函數(shù)y=f（m）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，求出函數(shù)的解析式；根據(jù)△≥0，求出函數(shù)的定義域；
（2）對函數(shù)的解析式配方，判斷函數(shù)在（-∞，0]上單調(diào)遞減，從而求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）f（m）=(x1+x2)2-2x₁x₂=4（m-1）²-2（m²+1）=2m²-8m+2；
△=4（m-1）²-4（m²+1）=-8m≥0⇒m≤0，
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧m|m≤0}；
（2）∵f（m）=2（m-2）²-6，
∴函數(shù)在（-∞，0]上單調(diào)遞減，
∴f（m）≥f（0）=2，
故函數(shù)的最小值為2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的定義域及求法，函數(shù)的解析式及求法，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了函數(shù)思想．