Question

已知x₁，x₂是關(guān)于x的方程：x²-kx+t=0（k，t∈R）的兩個(gè)根，且x₁＞0，x₂＞0，記f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)．
（1）求出k與t之間的關(guān)系；
（2）若f（t）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，試求k的取值范圍；
（3）解不等式：f（t）≤4．

Answer 1

分析：（1）由題意得

k2-4t≥0     x1+x2=k＞0 x1•x2=t＞0

?0＜t≤

k2

4

．
（2）f（t）的定義域?yàn)?span id="sey6kgi" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">{t|0＜t≤

k2

4

，k＞0}，f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=t+

(1-k2)

t

+2，再由函數(shù)f（t）在定義域上單調(diào)遞增性，能求出k的取值范圍．
（3）由

k2-4t≥0     x1+x2=k＞0    x1•x2=t＞0

，知f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=t+

(1-k2)

t

+2≤4，從而得到1-k≤t≤1+k，0＜t≤

k2

4

，k＞0．再由k的取值范圍分類求解．

解答：解：（1）由題意得

k2-4t≥0     x1+x2=k＞0 x1•x2=t＞0

?0＜t≤

k2

4

（4分）
（2）f（t）的定義域?yàn)?span id="uyma6e8" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">{t|0＜t≤

k2

4

，k＞0}，f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=t+

(1-k2)

t

+2
當(dāng)函數(shù)f（t）在定義域上單調(diào)遞增時(shí)，k≥1；
當(dāng)函數(shù)f（t）在定義域上單調(diào)遞減時(shí)，0＜k≤2

5 -2

∴當(dāng)f（t）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，k的取值范圍為(0，2

5 -2

]∪[1，+∞)．（10分）
（3）∵

k2-4t≥0     x1+x2=k＞0    x1•x2=t＞0

∴f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=t+

(1-k2)

t

+2≤4
∴t²-2t+1-k²=[t-（1-k）][t-（1+k）]≤0?1-k≤t≤1+k，
又0＜t≤

k2

4

，k＞0，（12分）
①當(dāng)0＜k＜-2+2

2

時(shí)，t∈∅；（13分）
②當(dāng)-2+2

2

≤k＜1時(shí)，1-k≤t≤

k2

4

（14分）
③當(dāng)1≤k＜2+2

2

時(shí)，0＜t≤

k2

4

；（15分）
④當(dāng)k≥2+2

2

時(shí)，0＜t≤1+k（16分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．