【題目】如圖,在三棱錐 中, 底面 分別是 的中點, 在 ,且 .
(1)求證: 平面 ;
(2)在線段 上是否存在點 ,使二面角 的大小為 ?若存在,求出 的長;
若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)證明:由 ,
是 的中點,得 ,
因為 底面 ,所以 ,
在 中, ,所以 ,
因此 ,又因為 ,
所以 ,
則 ,即 ,因為 底面 ,
所以 ,又 ,
又 ,所以 平面 .
(2)解:假設(shè)滿足條件的點 ,存在,
并設(shè) ,以 為坐標(biāo)原點,分別以 為 軸建立空間之間坐標(biāo)系 ,
則 ,
由 ,所以 ,所以 ,
設(shè)平面 的法向量為 ,
則 ,取 ,得 ,
即 ,設(shè)平面 的法向量為 ,
則 ,取 ,得 ,
即 ,
由二面角 的大小為 ,得 ,
化簡得 ,又 ,求得 ,于是滿足條件的點 存在,且 .
【解析】(1)根據(jù)題意由線面垂直的性質(zhì)定理即可得到線線垂直,再由已知的線線垂直結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證。(2)根據(jù)題意結(jié)合已知條件根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,求出各個點的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個向量的坐標(biāo),設(shè)出平面AFG和平面AEF的法向量,由向量垂直的坐標(biāo)運算公式可求出法向量,再利用向量的數(shù)量積運算公式求出余弦值進(jìn)而得到t的值于是滿足條件的點 G 存在。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京101中學(xué)校園內(nèi)有一個“少年湖”,湖的兩側(cè)有一個音樂教室和一個圖書館,如圖,若設(shè)音樂教室在A處,圖書館在B處,為測量A,B兩地之間的距離,某同學(xué)選定了與A,B不共線的C處,構(gòu)成△ABC,以下是測量的數(shù)據(jù)的不同方案:①測量∠A,AC,BC;②測量∠A,∠B,BC;③測量∠C,AC,BC;④測量∠A,∠C,∠B. 其中一定能唯一確定A,B兩地之間的距離的所有方案的序號是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面內(nèi)一動點 到點 的距離與點 到 x 軸的距離的差等于1.
(1)求動點 的軌跡 的方程;
(2)過點 作兩條斜率存在且互相垂直的直線 ,設(shè) 與軌跡 相交于點 , 與軌跡 相交于點 ,求 的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題 ,命題方程 表示焦點在 軸上的雙曲線.
(1)命題 為真命題,求實數(shù) 的取值范圍;
(2)若命題“ ”為真,命題“ ”為假,求實數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù) .
(1)求函數(shù) 的最大值;
(2)對于任意 ,且 ,是否存在實數(shù) ,使 恒成立,若存在求出 的范圍,若不存在,說明理由;
(3)若正項數(shù)列 滿足 ,且數(shù)列 的前 項和為 ,試判斷 與 的大小,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個命題:①若,則;②若,則;③若,則;④若, 且,則的最小值為9;其中正確命題的序號是______(將你認(rèn)為正確的命題序號都填上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題錯誤的是( )
A.命題“若 ,則 ”的逆命題為“若 ,則 ”
B.對于命題 ,使得 ,則 ,則
C.“ ”是“ ”的充分不必要條件
D.若 為假命題,則 均為假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,它的前n項和為Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn,求證: ≤Tn<.
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