Question

本小題滿分12分）
已知點(diǎn)P（4，4），圓C：與橢圓E：
有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF₁與圓C相切．
（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程；
（Ⅱ）Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．
w.

Answer 1

(1), m＝1
(2) [－12，0]

．解：（Ⅰ）點(diǎn)A代入圓C方程，     得．∵m＜3，∴m＝1． 2分
圓C：．設(shè)直線PF₁的斜率為k，
則PF₁：，即．∵直線PF₁與圓C相切，
∴．
解得．  ……………… 4分
當(dāng)k＝時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去．
當(dāng)k＝時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為－4，
∴c＝4．F₁（－4，0），F₂（4，0）．           …………………… 5分
2a＝AF₁＋AF₂＝，，a²＝18，b²＝2．
橢圓E的方程為：．             …………………… 7分
(法二)直接設(shè)直線的方程為：去求c . 2
（Ⅱ），設(shè)Q（x，y），，
．            …………………… 9分
（法一）設(shè),則是直線在軸上的截距，所以當(dāng)
，取得最大值與最小值，把直線方程代入橢圓方程得：由，
得，的取值范圍是[－6，6]．
∴的取值范圍是[－12，0]．   ……… 12分
(法二)∵，即，
而，∴－18≤6xy≤18．                    
則的取值范圍是[0，36]．     
的取值范圍是[－6，6]．
∴的取值范圍是[－12，0]． …………………… 12分