Question

18．91⁹¹除以100的余數(shù)是      （　�。�

• A． 1
• B． 9
• C． 11
• D． 91

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)91⁹¹，可得展開(kāi)式中，除了最后一項(xiàng)9⁹¹外，其余的項(xiàng)都能被100整除，故91⁹¹除以10的余數(shù)是 9⁹¹．再用二項(xiàng)式定理展開(kāi) 9⁹¹=（10-1）⁹¹，可得9⁹¹=909=9×100+9，從而得到答案．

解答 解：由于91⁹¹=（100-9）⁹¹=C₉₁⁰•100⁹¹•（-9）⁰+C₉₁¹•100⁹⁰•（-9）¹+…+C₉₁⁹¹•100⁰•（-9）⁹¹，
在此展開(kāi)式中，除了最后一項(xiàng)外，其余的項(xiàng)都能被100整除，故91⁹²除以100的余數(shù)等價(jià)于C₉₁⁹¹•100⁰•（-9）⁹¹=-9⁹¹除以100的余數(shù)，
而 9⁹¹=（10-1）⁹¹=C₉₁⁰•10⁹¹•（-1）⁰+C₉₁¹•10⁹⁰•（-1）¹+…+C₉₁⁹¹•10⁰•（-1）⁹¹，
故9⁹¹除以100的余數(shù)等價(jià)于C₉₁⁹⁰•10¹•（-1）⁹⁰+C₉₁⁹¹•10⁰•（-1）⁹¹除以100的余數(shù)，
而C₉₁⁹⁰•10¹•（-1）⁹⁰+C₉₁⁹¹•10⁰•（-1）⁹¹=909=9×100+9，
∴9⁹¹除以100的余數(shù)是9，-9⁹¹除以100的余數(shù)是91，
故91⁹¹除以100的余數(shù)是91，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．