Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）對(duì)任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+m，（m∈R）． ①若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得g（x）在區(qū)間[a，b]上為單調(diào)函數(shù)，且g（x）取值范圍也為[a，b]，求m的取值范圍；
②若函數(shù)g（x）的零點(diǎn)都是函數(shù)h（x）=f（f（x））+m的零點(diǎn)，求h（x）的所有零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)二次函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=ax2+bx+c，

則f（x+2）﹣f（x）=a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）=4ax+4a+2b

由f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4得（4a+4）x+4a+2b﹣4=0恒成立，又f（0）=0

所以 ，所以 ，所以f（x）=﹣x2+4x

（2）解：g（x）=﹣x2+4x+m，對(duì)稱軸x=2，g（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，所以b≤2或a≥2

①1°當(dāng)b≤2時(shí)，g（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)增，所以 ，即a，b為g（x）=x的兩個(gè)根，

所以只要g（x）=x有小于等于2兩個(gè)不相等的實(shí)根即可，

所以x2﹣3x﹣m=0要滿足 ，得

2°當(dāng)a≥2時(shí)，g（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)減，所以 ，即

兩式相減得（b﹣a）（a+b﹣5）=0，因?yàn)閎＞a，所以a+b﹣5=0，

所以m=a2﹣5a+5， ，得

綜上，m的取值范圍為

②（法一）設(shè)x0為g（x）的零點(diǎn)，則 ，即 ，

即﹣m2﹣4m+m=0，得m=0或m=﹣3

1°當(dāng)m=0時(shí)，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）=﹣x（x﹣4）（x2﹣4x+4）

所以h（x）所有零點(diǎn)為0，2，4

2°當(dāng)m=﹣3時(shí)，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）﹣3=﹣（﹣x2+4x﹣3）（﹣x2+4x﹣1）

（因?yàn)楸赜幸蚴僵亁2+4x﹣3，所以容易分解因式）

由﹣x2+4x﹣3=0和﹣x2+4x﹣1=0得 ，

所以h（x）所有零點(diǎn)為

（法二）函數(shù)g（x）的零點(diǎn)都是函數(shù)h（x）的零點(diǎn)，

所以﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m中必有因式﹣x2+4x+m，

所以可設(shè)：﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t）

展開對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得 或 （下同法一）．

【解析】（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法求解即可．（2）g（x）=﹣x2+4x+m，對(duì)稱軸x=2，g（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，b≤2或a≥2，①1°當(dāng)b≤2時(shí)，2°當(dāng)a≥2時(shí)，列出不等式組，求解m的取值范圍為 ；②（法一）設(shè)x0為g（x）的零點(diǎn)，則 ，求出m=0或m=﹣3，1°當(dāng)m=0時(shí)，求出h（x）所有零點(diǎn)為0，2，4；2°當(dāng)m=﹣3時(shí)，求出h（x）所有零點(diǎn)為 ；

（法二）函數(shù)g（x）的零點(diǎn)都是函數(shù)h（x）的零點(diǎn)，﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t），展開對(duì)應(yīng)系數(shù)相等求解即可．

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)．