(1)解:f′(x)=lnx+1,當x∈
時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x∈
時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
①當0<t<t+2<
時,t無解;②當0<t<
<t+2,即0<t<
時,f(x)
min=f
=-
;
③當
≤t<t+2,即t≥
時,f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,f(x)
min=f(t)=tlnt,
所以f(x)
min=
.
(2)解:由題意,要使2xlnx≥-x
2+ax-3在x∈(0,+∞)恒成立,即要使a≤2lnx+x+
恒成立.
設(shè)h(x)=2lnx+x+
(x>0),則h′(x)=
+1-
.
當x∈(0,1)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
所以x=1時,h(x)取得極小值,也就是最小值,
即[h(x)]
min=h(1)=4,所以a≤4.
(3)證明:問題等價于證明xlnx>
-
,x∈(0,+∞).
由(1)知,f(x)=xlnx在(0,+∞)上最小值是-
,
當且僅當x=
時取得.設(shè)m(x)=
-
,x∈(0,+∞),則m′(x)=
,
易得[m(x)]
max=m(1)=-
,
當且僅當x=1時取得,
從而對一切x∈(0,+∞),都有l(wèi)nx>
-
成立