巳知橢圓的離心率是.
⑴若點P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點A(1,0)的直線，使點C(2,0)關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.
⑴；⑵橢圓的焦距的取值范圍是.

試題分析：⑴，，再將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，這樣便有三個方程，三者聯(lián)立，即可求出，從而得橢圓的方程.⑵顯然斜率不存在或斜率等于0時，不可能滿足題意.故可設(shè)直線l的方程為：，這樣可將點C(2, 0)關(guān)于直線l的對稱點的坐標(biāo)用表示出來，然后代入橢圓的方程，從而得一關(guān)于的方程：.設(shè)，因此原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有正根.根據(jù)二次方程根的分布可得.進而求得橢圓的焦距的取值范圍.

試題解析：⑴,
∵點P(2,1)在橢圓上,∴     5分
⑵依題意，直線l的斜率存在且不為0，則直線l的方程為：.
設(shè)點C(2, 0)關(guān)于直線l的對稱點為，則

若點在橢圓上，則

設(shè)，因此原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有正根.
①當(dāng)時，方程一定有正根；
②當(dāng)時，則有
∴綜上得.
又橢圓的焦距為.
故橢圓的焦距的取值范圍是(0,4]         13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點是橢圓的一個頂點，的長軸是圓的直徑，、是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點，交橢圓于另一點.

（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值及取得最大值時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動直線與曲線有且只有一個公共點，且與直線相交于點.
求證：以為直徑的圓過定點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，過且于x軸垂直的直線與橢圓交于S,T，與拋物線交于C，D兩點，且

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點，若過點M(2,0)的直線與橢圓相交于不同兩點A和B，且滿足（O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)t的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓，直線與相交于、兩點，與軸、軸分別相交于、兩點，為坐標(biāo)原點.
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在區(qū)間和上分別取一個數(shù)，記為和，則方程，表示焦點在y軸上的橢圓的概率是     .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的左、右焦點分別為，點M在該橢圓上，且，則點M到y(tǒng)軸的距離為（   ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

（已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，A是右頂點，B是虛軸的上端點，F(xiàn)是左焦點，
當(dāng)BF⊥AB時，此類雙曲線稱為“黃金雙曲線”，其離心率為，類比“黃金雙曲線”，推算出“黃金橢圓”（如圖）的離心率=_________；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.
(1)當(dāng)坐標(biāo)原點到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時，求橢圓E的方程；
(2)若Rt△MAB面積的最大值為，求a；
(3)對于給定的實數(shù)a(a＞1)，動直線AB是否經(jīng)過一定點？如果經(jīng)過，求出定點坐標(biāo)(用a表示)；反之，說明理由．

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