已知橢圓
,直線
與
相交于
、
兩點,
與
軸、
軸分別相交于
、
兩點,
為坐標原點.
(1)若直線
的方程為
,求
外接圓的方程;
(2)判斷是否存在直線
,使得
、
是線段
的兩個三等分點,若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由.
試題分析:(1)先確定
三個頂點的坐標,利用其外接圓圓心即為該三角形垂直平分線的交點求出外接圓的圓心,并利用兩點間的距離公式求出外接圓的半徑,從而求出外接圓的方程;(2)將
、
是線段
的兩個三等分點等價轉化為線段
的中點與線段
的中點重合,且有
,借助韋達定理與弦長公式進行求解.
試題解析:(1)因為直線
的方程為
,
所以
軸的交點
,與
軸的交點
.
則線段
的中點
,
,
即
外接圓的圓心為
,半徑為
,
所以
外接圓的方程為
;
(2)結論:存在直線
,使得
、
是線段
的兩個三等分點.
理由如下:
由題意,設直線
的方程為
,
,
,
則
,
,
由方程組
得
,
所以
,(*)
由韋達定理,得
,
.
由
、
是線段
的兩個三等分點,得線段
的中點與線段
的中點重合.
所以
,
解得
.
由
、
是線段
的兩個三等分點,得
.
所以
,
即
,
解得
.
驗證知(*)成立.
所以存在直線
,使得
、
是線段
的兩個三等分點,此時直線
l的方程為
,
或
.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
巳知橢圓
的離心率是
.
⑴若點P(2,1)在橢圓上,求橢圓的方程;
⑵若存在過點A(1,0)的直線
,使點C(2,0)關于直線
的對稱點在橢圓上,求橢圓的焦距的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知點
為橢圓
右焦點,圓
與橢圓
的一個公共點為
,且直線
與圓
相切于點
.
(1)求
的值及橢圓
的標準方程;
(2)設動點
滿足
,其中M、N是橢圓
上的點,
為原點,直線OM與ON的斜率之積為
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
過點
,且離心率為
.斜率為
的直線
與橢圓
交于
A、
B兩點,以
為底邊作等腰三角形,頂點為
.
(1)求橢圓
的方程;
(2)求△
的面積.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
C的兩個焦點是
)和
,并且經過點
,拋物線的頂點
E在坐標原點,焦點恰好是橢圓
C的右頂點
F.
(1)求橢圓
C和拋物線
E的標準方程;
(2)過點
F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線
l1、
l2,
l1交拋物線
E于點
A、
B,
l2交拋物線
E于點
G、
H,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知對
,直線
與橢圓
恒有公共點,則實數(shù)
的取值范圍是
A.(0, 1) | B.(0,5) | C.[1,5) | D.[1,5)∪(5,+∞) |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知
是橢圓的兩個焦點,過
且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點,若
是正三角形,則這個橢圓的離心率是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知點A(0,1)是橢圓
上的一點,P點是橢圓上的動點,
則弦AP長度的最大值為( )
A. | B.2 | C. | D.4 |
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