【題目】(2015·新課標I卷)如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E , F是平面ABCD同一側(cè)的兩點,BE⊥平面ABCD , DF⊥平面ABCD , BE=2DF , AE⊥EC.
(1)證明:平面AEC⊥平面AFC
(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值
【答案】
(1)
見解析
(2)
【解析】(Ⅰ)連接BD , 設BD∩AC=G , 連接EG , FG , EF , 在菱形ABCD中,不妨設GB=1,由∠ABC=120°,可得AG=GC=
由BE⊥平面ABCD , AB=BC可知,AE=EC ,
又∵AE⊥EC , ∴EG=,EG⊥AC ,
在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.
在Rt△FDG中,可得FG=.
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=可得EF=,∴EG2+EG2=EF2 , ∴EG⊥FG ,
∵AC∩FG=G , ∴EG⊥平面AFC ,
∵EG面AEC , ∴平面AFC⊥平面AEC.
(Ⅱ)如圖,以G為坐標原點,分別以的方向為x軸,y軸正方向,為單位擬長度,建立空間直角坐標系G-xyz。由(Ⅰ)可得
A(0,-),E(1,0,),F(xiàn)(-1,0,),C(0,,0), ∴=(1,,), =(-1,-,).
故, 所以直線AE與CF所成的角的余弦值為。
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【題目】設橢圓C: (a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2 , 上頂點為A,過A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于Q點,且F1恰好是線段QF2的中點.
(1)若過A、Q、F2三點的圓恰好與直線3x﹣4y﹣7=0相切,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,B是橢圓C的左頂點,過點R( ,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于E、F兩點,直線BE、BF分別交直線x= 于M、N兩點,若直線MR、NR的斜率分別為k1 , k2 , 試問:k1k2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知命題:“若,則關于x的不等式的解集為空集”,那么它的逆命題,否命題,逆否命題,以及原命題中,假命題的個數(shù)是( 。
A.0B.2C.3D.4
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【題目】某同學用“五點法”畫函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖像時,列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表:
| |||||
0 |
|
| |||
0 | 1 | 0 |
| 0 | |
0 | 0 | 0 |
(1)請寫出上表的及函數(shù)的解析式;
(2)將函數(shù)的圖像向右平移個單位,再將所得圖像上各點的橫坐標縮小為原來的,縱坐標不變,得到函數(shù)的圖像,求的解析式及的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)在(2)的條件下,若在上恰有奇數(shù)個零點,求實數(shù)與零點個數(shù)的值.
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【題目】為了調(diào)查甲、乙兩個網(wǎng)站受歡迎的程度,隨機選取了14天,統(tǒng)計上午8:00—10:00間各自的點擊量,得如下所示的統(tǒng)計圖,根據(jù)統(tǒng)計圖:
(1)甲、乙兩個網(wǎng)站點擊量的極差分別是多少?
(2)甲網(wǎng)站點擊量在[10,60]間的頻率是多少?
(3)甲、乙兩個網(wǎng)站哪個更受歡迎?并說明理由。
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【題目】(2015·新課標I卷)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中,直線C1: x=-2,圓C2:(x-1)2+(y+2)2=1,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求C1, C2的極坐標方程.
(2)若直線C3的極坐標方程為,設C2, C3的交點為M,N,求△C2MN的面積.
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【題目】已知拋物線C1:x2=4y 的焦點F也是橢圓c2:的一個焦點, C1和C2的公共弦長為
(1)求 C2的方程;
(2)過點F 的直線 l與 C1相交于A與B兩點, 與C2相交于C , D兩點,且與 同向
(。┤ 求直線l的斜率;
(ⅱ)設 C1在點 A處的切線與 x軸的交點為M ,證明:直線l 繞點 F旋轉(zhuǎn)時, MFD總是鈍角三角形。
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【題目】(2015·四川)某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽,A中學推薦3名男生,2名女生,B中學推薦了3名男生,4名女生,兩校推薦的學生一起參加集訓,由于集訓后隊員的水平相當,從參加集訓的男生中隨機抽取3人,女生中隨機抽取3人組成代表隊。
(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率.
(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,設X表示參賽的男生人數(shù),求X得分布列和數(shù)學期望.
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【題目】為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況,隨機選取該月中的5天,將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位:℃)制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論:
據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的標號為( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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