Question

在多面體ABCDEF中，△ADE是邊長為2的等邊三角形，EF∥平面ABCD，AB⊥平面ADE，AB=，EF=．
（1）求證AB∥DC；
（2）求直線BE與平面ABCD所成的角；
（3）若DF⊥FC，求證DF⊥BC．

Answer 1

解：
（1）證明：∵EF∥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AB∥EF，同理 CD∥EF
AB∥CD．
（2）∵AB⊥平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ABCD，取AD的中點O，連接 EO、BO，
△ADE是等邊三角形，EO⊥AD，
∴EO⊥平面ABCD，∠EBO為直線BE與平面ABCD所成的角，在△EBO中，
tan∠EBO==，故直線BE與平面ABCD所成的角等于30°．
（3）∵AB⊥平面ADE，EF∥AB，
∴EF⊥平面ADE，△ADE是邊長為2的等邊三角形，
BD²=AD²+AB²=4+8=12，DF²=DE²+EF²=4+2=6，
BF²=AE²+（AB-EF）²=4+2=6，∴DF⊥BF．
又 DF⊥FC，BF∩FC=F，∴DF⊥平面FBC，∴DF⊥BC．
分析：（1）由線面平行的性質(zhì)得AB∥EF，同理 CD∥EF，故由AB∥CD．
（2）先證平面ADE⊥平面ABCD，取AD的中點O，，∠EBO為直線BE與平面ABCD所成的角，將此角放到直角三角形中，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出此角的大小．
（3）利用勾股定理證明DF⊥BF，再根據(jù) DF⊥FC，從而證明DF⊥平面FBC，故DF⊥BC．
點評：本題考查線面平行的性質(zhì)，求直線和平面所成的角的大小，通過證明線面垂直達(dá)到證明線線垂直的目的．