如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是矩形,AB∥EF,∠EAB=90°,AB=2,AD=AE=EF=1,平面ABFE⊥平面ABCD.
(1)求證:面DAF⊥面BAF.
(2)求鈍二面角B-FC-D的大。
分析:(1)要證兩個(gè)平面互相垂直,只要證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線即可,由四邊形ABCD是矩形可知AD⊥AB,再由平面ABFE⊥平面ABCD可得AD⊥平面BAF,則結(jié)論得證;
(2)分別以AD,AB,AE所在直線為x軸,y軸,z軸,建立的空間直角坐標(biāo)系,標(biāo)出用到的點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩個(gè)平面BFC與CFD的一個(gè)法向量,利用平面法向量所成的角求二面角的大小.
解答:(1)證明:如圖,
∵平面ABFE⊥平面ABCD,AD⊥AB,
∴AD⊥平面BAF.
又∵AD?面DAF,
∴面DAF⊥面BAF;
(2)解:分別以AD,AB,AE所在直線為x軸,y軸,z軸,建立的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、F(0,1,1)
DC
=(0,2,0),
DE
=(-1,0,1)

設(shè)
n
=(x,y,z)
為平面CDFE的一個(gè)法向量,則
n
DC
=0
n
DE
=0
2y=0
-x+z=0
,令x=1,得z=1,
所以
n
=(1,0,1)

由平面ABEF⊥平面ABCD知,AF⊥BC,在△AFB中,AF=
2
,AB=2,BF=
2
,∴AF⊥面FBC.
m
=
AF
=(0,1,1)
為平面BCF的一個(gè)法向量,
cos<
m
,
n
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
1
2
,
∵二面角B-FC-D的平面角為鈍角,
∴鈍二面角B-FC-D的大小120°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了平面與平面垂直的判定,考查了利用空間向量求二面角的大小,解答的關(guān)鍵在于建立正確的空間右手直角坐標(biāo)系,是中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1
.
BB1,AB=AC=AA1=
2
2
BC,B1C1
.
1
2
BC

(1)求證:A1B1⊥平面AA1C;
(2)求證:AB1∥平面A1C1C;
(3)求二面角C1-A1C-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=
2
AB
,B1C1
.
.
1
2
BC
,二面角A1-AB-C是直二面角.
(Ⅰ)求證:AB1∥平面 A1C1C;
(Ⅱ)求BC與平面A1C1C所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•青島二模)如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形ABB1A1是正方形,AC=AB=1,A1C=A1B,B1C1∥BC,B1C1=
12
BC.
(Ⅰ)求證:面A1AC⊥面ABC;
(Ⅱ)求證:AB1∥面A1C1C.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•合肥一模)如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1⊥平面ABC,AA1∥=BB1,AB=AC=AA1=
2
2
BC
,B1C1∥=
1
2
BC

(1)求證:A1B1⊥平面AA1C;
(2)若D是BC的中點(diǎn),求證:B1D∥平面A1C1C;
(3)若BC=2,求幾何體ABC-A1B1C1的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•鄭州二模)如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=
2
AB,B1C1
.
1
2
BC
,二面角A1-AB-C是直二面角.
(I)求證:A1B1⊥平面AA1C; 
(II)求證:AB1∥平面 A1C1C;
(II)求BC與平面A1C1C所成角的正弦值.

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