【題目】設(shè)函數(shù)

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)設(shè)是否存在極值,若存在,請(qǐng)求出極值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)當(dāng)時(shí).證明:

【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為(2)時(shí),無(wú)極值時(shí),有極大值,無(wú)極小值;(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得的解集,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由題意得出的解析式,得出,按兩種情況分類(lèi)討論,即可得出的極大值與極小值;(3)設(shè),轉(zhuǎn)化為證,只需證明,取出,得出的單調(diào)性,設(shè)的根為,此時(shí),進(jìn)而可得以證明.

試題解析:(1)

,即,得,故的增區(qū)間為;

,即,得,故的減區(qū)間為;

的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為

(2)

當(dāng)時(shí),恒有上為增函數(shù),故上無(wú)極值;

當(dāng)時(shí),令,得

,單調(diào)遞增,,,單調(diào)遞減.

無(wú)極小值;

綜上所述:時(shí),無(wú)極值

時(shí),有極大值,無(wú)極小值.

(3)證明:設(shè)),則即證,只要證

,

上單調(diào)遞增

方程有唯一的實(shí)根,且

當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

,則

原命題得證

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)求的值;

)已知實(shí)數(shù),求函數(shù)的最小值;

)令,給定,對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù),存在實(shí)數(shù)滿足:,并且使得不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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