【題目】若不等式|mx3﹣lnx|≥1對x∈(0,1]恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
【答案】[ e2 , +∞)
【解析】解:|mx3﹣lnx|≥1對任意x∈(0,1]都成立
等價為mx3﹣lnx≥1,或mx3﹣lnx≤﹣1,
即m≥ ,記f(x)= ,或m≤ ,記g(x)= ,
f'(x)= = ,
由f'(x)= =0,
解得lnx=﹣ ,即x=e﹣ ,
由f(x)>0,解得0<x<e﹣ ,此時函數(shù)單調(diào)遞增,
由f(x)<0,解得x>e﹣ ,此時函數(shù)單調(diào)遞減,
即當(dāng)x=e﹣ 時,函數(shù)f(x)取得極大值,同時也是最大值f(e﹣ )= = = e2 , 此時m≥ e2 ,
若m≤ ,
∵當(dāng)x=1時, =﹣1,
∴當(dāng)m>0時,不等式m≤ 不恒成立,
綜上m≥ e2 .
所以答案是:[ e2 , +∞).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關(guān)知識,掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直,函數(shù)g(x)=f(x)+ x2﹣bx.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)設(shè)x1 , x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個極值點(diǎn),若b≥ ,求g(x1)﹣g(x2)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 滿足(1﹣q)Sn+qan=1,且q(q﹣1)≠0.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若S3 , S9 , S6成等差數(shù)列,求證:a2 , a8 , a5成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣(a2﹣a)lnx﹣x(a<0),且函數(shù)f(x)在x=2處取得極值.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若x∈[1,e],f(x)﹣m≤0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加高三年級期末統(tǒng)考測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)估計這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù);
(Ⅱ)假設(shè)在[90,100]段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都不相同,且都超過94分.若將頻率視為概率,現(xiàn)用簡單隨機(jī)抽樣的方法,從95,96,97,98,99,100這6個數(shù)中任意抽取3個數(shù),有放回地抽取了3次,記這3次抽取中,恰好是三個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的次數(shù)為,求的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(a,a),B(2,3),C(3,2).
(1)若向量 , 的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=1,點(diǎn)P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上, =m +n (m,n∈R),求m﹣n的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中石化集團(tuán)獲得了某地深海油田塊的開采權(quán),集團(tuán)在該地區(qū)隨機(jī)初步勘探了部分幾口井,取得了地質(zhì)資料.進(jìn)入全面勘探時期后,集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)米布置井位進(jìn)行全面勘探.由于勘探一口井的費(fèi)用很高,如果新設(shè)計的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質(zhì)資料,不必打這口新井,以節(jié)約勘探費(fèi)用,勘探初期數(shù)據(jù)資料見下表:
井號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
坐標(biāo)(x,y)(km) | (2,30) | (4,40) | (5,60) | (6,50) | (8,70) | (1,y) |
鉆探深度(km) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 |
出油量(L) | 40 | 70 | 110 | 90 | 160 | 205 |
(Ⅰ)1~6號舊井位置線性分布,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為y=6.5x+a,求a,并估計y的預(yù)報值;
(Ⅱ)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井7(1,25),若通過1、3、5、7號井計算出的,的值(,精確到0.01)與(I)中b,a的值差不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井6(1,y),否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井?(參考公式和計算結(jié)果:,,,)
(Ⅲ)設(shè)出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井,那么在原有6口井中任意勘探4口井,求勘探優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面圖形ABB1A1C1C如圖4所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC= ,A1B1=A1C1= .現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊,使△ABC與△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直,再分別連接A2A,A2B,A2C,得到如圖2所示的空間圖形,對此空間圖形解答下列問題.
(Ⅰ)證明:AA1⊥BC;
(Ⅱ)求AA1的長;
(Ⅲ)求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值.
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