已知函數(shù).
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(II)若關于x的不等式恒成立,求實數(shù)a的集合.
(I)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,極小值;(II).
解析試題分析:(I)先求已知函數(shù)的導數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值;(II)由已知得,求解的恒成立問題,即是求解恒成立時的取值集合,對分和兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系進行討論,求得每種情況下的取值,最后結(jié)果取兩部分的并集.
試題解析:(I)函數(shù)的定義域為.
因為, 1分
令,解得, 2分
當時,;當時,, 3分
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為. 4分
故在處取得極小值. 5分
(II)由知,. 6分
①若,則當時,,
即與已知條件矛盾; 7分
②若,令,則,
當時,;當時,,
所以, 9分
所以要使得不等式恒成立,只需即可,
再令,則,當時, ,當時,,
所以在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增,即,所以,
綜上所述,的取值集合為. 12分
考點:1、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系;2、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值;3、對數(shù)函數(shù)的定義域;4、分類討論的思想.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設,,,為函數(shù)的圖象上任意不同兩點,若過,兩點的直線的斜率恒大于,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)若函數(shù)在x = 0處取得極值.
(1) 求實數(shù)的值;
(2) 若關于x的方程在區(qū)間[0,2]上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍;
(3)證明:對任意的正整數(shù)n,不等式都成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求a的值;
(2)若函數(shù)在處取得極大值,求實數(shù)a的值;
(3)若,求在區(qū)間上的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),,其中為常數(shù),,函數(shù)和的圖像在它們與坐標軸交點處的切線分別為、,且.
(1)求常數(shù)的值及、的方程;
(2)求證:對于函數(shù)和公共定義域內(nèi)的任意實數(shù),有;
(3)若存在使不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.
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設函數(shù),,函數(shù)的圖象與軸的交點也在函數(shù)的圖象上,且在此點有公切線.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)試比較與的大。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
某校內(nèi)有一塊以為圓心,(為常數(shù),單位為米)為半徑的半圓形(如圖)荒地,該校總務處計劃對其開發(fā)利用,其中弓形區(qū)域(陰影部分)用于種植學校觀賞植物,區(qū)域用于種植花卉出售,其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知種植學校觀賞植物的成本是每平方米20元,種植花卉的利潤是每平方米80元,種植草皮的利潤是每平方米30元.
(1)設(單位:弧度),用表示弓形的面積;
(2)如果該校總務處邀請你規(guī)劃這塊土地,如何設計的大小才能使總利潤最大?并求出該最大值.
(參考公式:扇形面積公式,表示扇形的弧長)
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