Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=x+1．
（1）若當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（2）求函數(shù)h（x）=|f（x）|+λ|g（x）|在區(qū)間x∈[-2，0]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，可得△=λ²+4λ+4≤0，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（2）分類討論，利用配方法，即可求函數(shù)h（x）=|f（x）|+λ|g（x）|在區(qū)間x∈[-2，0]上的最大值．

解答： 解：（1）∵x²-1≥λ（x+1），x∈R恒成立，
∴x²-λx-λ-1≥0，x∈R恒成立，
∴△=λ²+4λ+4≤0，∴λ=-2…（5分）
（2）∵h(x)=|x2-1|+λ|x+1|=

x2-λx-λ-1，-2≤x≤-1 -x2+λx+λ+1，-1＜x≤0

①當(dāng)-2≤x≤-1時(shí)，h(x)=(x-

λ

2

)2-

λ2

4

-λ-1，
（�。┊�(dāng)λ≤-3時(shí)，h_max=h（-1）=0；（ⅱ）當(dāng)λ＞-3時(shí)，h_max=h（-2）=λ+3；
②當(dāng)-1＜x≤0時(shí)，h(x)=-(x-

λ

2

)2+

λ2

4

+λ+1，
（�。┊�(dāng)λ≤-2時(shí)，h（x）＜h（-1）=0；（ⅱ）當(dāng)λ≥0時(shí)，h_max=h（0）=λ+1；
（ⅲ）當(dāng)-2＜λ＜0時(shí)，hmax=h(-

λ

2

)=

λ2

4

+λ+1，
綜上：①當(dāng)λ≤-3時(shí)，h_max=0；②當(dāng)λ＞-3時(shí)，h_max=λ+3．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問題，考查函數(shù)在區(qū)間x∈[-2，0]上的最大值，考查配方法，屬于中檔題．