已知拋物線C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直線l同時(shí)是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段。

（1）a取什么值時(shí)，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

（2）若C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分。

 

答案：
解析：

（1）解析  函數(shù)y=x2+2x的導(dǎo)數(shù)y¢=2x+2，曲線C1在點(diǎn)的切線方程是：

，即                        ①

函數(shù)y=-x2+a的導(dǎo)數(shù)y¢=-2x，曲線C2在點(diǎn)的切線方程是：

，即。                           ②

如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程，所以。消去x2得方程。

若判別式D=4-4´2(1+a)=0，即時(shí)解得，此時(shí)點(diǎn)P與Q重合，即當(dāng)時(shí)C1和C2有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為。

（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，C1和C2有兩條公切線。

設(shè)一條公切線上切點(diǎn)為：P(x1，y1)，Q(x2，y2)。其中P在C1上，Q在C2上，則有x1+x2=-1，。

線段PQ的中點(diǎn)為。同理，另一條公切線段P¢Q¢的中點(diǎn)也是。所以公切線段PQ和P¢Q¢互相平分。

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C1：y=2x2與拋物線C2關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，則C2的準(zhǔn)線方程為（　�。�
A、x=
1
8
B、x=-
1
8
C、x=
1
2
D、x=-
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C1：y=x2，橢圓C2：x2+
y24
=1．
（1）設(shè)l1，l2是C1的任意兩條互相垂直的切線，并設(shè)l1∩l2=M，證明：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（2）在C1上是否存在點(diǎn)P，使得C1在點(diǎn)P處切線與C2相交于兩點(diǎn)A、B，且AB的中垂線恰為C1的切線？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C1：y=x2+2x和C：y=-x2+a，如果直線l同時(shí)是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段．
（Ⅰ）a取什么值時(shí)，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；
（Ⅱ）若C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a．a(chǎn)取何值時(shí)C1和C2有且僅有一條公切線l，求出公切線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C1：y=x2，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，橢圓C2：
x2
2
+
y2
a2
=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF|=
3
4
，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與拋物線C1交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，l與橢圓C2交于P，Q兩個(gè)不同點(diǎn)，AB中點(diǎn)為R，PQ中點(diǎn)為S，若O在以RS為直徑的圓上，且k 2＞
1
2
，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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