已知拋物線C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直線l同時是C1和C2的切線,稱l是C1和C2的公切線,公切線上兩個切點之間的線段,稱為公切線段.
(Ⅰ)a取什么值時,C1和C2有且僅有一條公切線?寫出此公切線的方程;
(Ⅱ)若C1和C2有兩條公切線,證明相應的兩條公切線段互相平分.
分析:(1)先分別求出各自在某點處的切線,然后根據(jù)是公切線建立等量關系,要使C1和C2有且僅有一條公切線,可利用判別式進行判定;
(2)分別求出C1和C2有兩條公切線段的中點坐標,發(fā)現(xiàn)兩者相等,從而證明了相應的兩條公切線段互相平分.
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)y=x
2+2x的導數(shù)y′=2x+2,
曲線C
1在點P(x
1,x
12+2x
1)的切線方程是:
y-(x
12+2x
1)=(2x
1+2)(x-x
1),
即y=(2x
1+2)x-x
12①
函數(shù)y=-x
2+a的導數(shù)y′=-2x,
曲線C
2在點Q(x
2,-x
22+a)的切線方程是
即y-(-x
22+a)=-2x
2(x-x
2).
y=-2x
2x+x
22+a.②
如果直線l是過P和Q的公切線,
則①式和②式都是l的方程,
x
1+1=-x
2,所以-x
12=x
22+a.
消去x
2得方程2x
12+2x
2+1+a=0.
若判別式△=4-4×2(1+a)=0時,
即a=-
時解得x
1=-
,此時點P與Q重合.
即當a=-
時C
1和C
2有且僅有一條公切線,
由①得公切線方程為y=x-
.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)可知.
當a<-
時C
1和C
2有兩條公切線
設一條公切線上切點為:P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2).
其中P在C
1上,Q在C
2上,則有x
1+x
2=-1,
y
1+y
2=x
12+2x
1+(-x
22+a)=x
12+2x
1-(x
1+1)
2+a=-1+a.
線段PQ的中點為
(-,).
同理,另一條公切線段P′Q′的中點也是
(-,)所以公切線段PQ和P′Q′互相平分.
點評:本小題主要考查導數(shù)、切線等知識及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力,屬于中檔題.