已知拋物線C1:y=x2,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),橢圓C2
x2
2
+
y2
a2
=1
(0<a<2);
(1)若M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF|=
3
4
,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)設(shè)直線l:y=kx+1與拋物線C1交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),l與橢圓C2交于P,Q兩個(gè)不同點(diǎn),AB中點(diǎn)為R,PQ中點(diǎn)為S,若O在以RS為直徑的圓上,且k 2
1
2
,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)設(shè)出M的坐標(biāo),利用|MF|=
3
4
,及橢圓方程,即可求實(shí)數(shù)a的值;
(2)設(shè)出直線方程,分別與拋物線、橢圓方程聯(lián)立,求出R,S的坐標(biāo),利用
OS
OR
=0,結(jié)合條件,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)設(shè)M(x,y),|MF|=y+
1
4
=
3
4
,y=
1
2
,x2=
1
2
,代入
x2
2
+
y2
a2
=1,
1
4
+
1
4
a2
=1,
∴a2=
1
3
,又0<a<2,∴a=
3
3
;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)R(xR,yR),
y=kx+1,代入拋物線方程可得到x2-kx-1=0,
x1+x2=k,
y1+y2=k(x1+x2)+2=k2+2,∴R(
k
2
,
k2+2
2

設(shè)P(x3,y3),B(x4,y4),PQ中點(diǎn)S(xS,yS),
y=kx+1,代入橢圓方程可得到(2k2+a2)x2+4kx+2-2a2=0,
∴x3+x4=
-4k
2k2+a2
,y3+y4=k(x3+x4)+2=
2a2
2k2+a2
,
∴S(
-2k
2k2+a2
,
a2
2k2+a2
),
由條件知,
OS
OR
=0,∴
-2k2
2(2k2+a2)2
+
a2(k2+2)
2(2k2+a2)
=0,
∴-2k2+a2(k2+2)=0,
∴a2=2-
4
k2+2
,
k2
1
2
,∴k2+2>
5
2

4
k2+2
(0,
8
5
)
,
∴a2∈(
2
5
,2
),
又0<a<2,∴a∈(
10
5
,
2
)
,此時(shí)△>0恒成立
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查向量知識(shí),考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C1:y=2x2與拋物線C2關(guān)于直線y=-x對(duì)稱,則C2的準(zhǔn)線方程為( 。
A、x=
1
8
B、x=-
1
8
C、x=
1
2
D、x=-
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C1:y=x2,橢圓C2:x2+
y24
=1.
(1)設(shè)l1,l2是C1的任意兩條互相垂直的切線,并設(shè)l1∩l2=M,證明:點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值;
(2)在C1上是否存在點(diǎn)P,使得C1在點(diǎn)P處切線與C2相交于兩點(diǎn)A、B,且AB的中垂線恰為C1的切線?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直線l同時(shí)是C1和C2的切線,稱l是C1和C2的公切線,公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段,稱為公切線段.
(Ⅰ)a取什么值時(shí),C1和C2有且僅有一條公切線?寫出此公切線的方程;
(Ⅱ)若C1和C2有兩條公切線,證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C1:y=x2+2xC2:y=-x2+a.a(chǎn)取何值時(shí)C1和C2有且僅有一條公切線l,求出公切線l的方程.

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