【題目】如圖，已知橢圓，分別為其左、右焦點(diǎn)，過的直線與此橢圓相交于兩點(diǎn)，且的周長為8，橢圓的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與點(diǎn)，過的動直線（不與軸平行）與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)．求證：

（i）三點(diǎn)共線．

（ii）．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

Ⅰ由三角形的周長可得，根據(jù)離心率可得，即可求出，則橢圓方程可求；Ⅱ當(dāng)直線l的斜率不存在時，A、B分別為橢圓短軸兩端點(diǎn)，滿足Q，A，三點(diǎn)共線當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用向量證明．由可知Q，A，三點(diǎn)共線，即，問題得以證明.

解：Ⅰ的周長為8，，即，

，，，

故橢圓C的方程為

Ⅱ證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時，A、B分別為橢圓短軸兩端點(diǎn)，滿足Q，A，三點(diǎn)共線．

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為，

聯(lián)立，得．

設(shè)，，則，

，，

，，

．

與共線，則Q，A，三點(diǎn)共線．

由可知Q，A，三點(diǎn)共線，

練習(xí)冊系列答案
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【題目】當(dāng)曲線與直線有兩個相異的交點(diǎn)時,實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）

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【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，且，點(diǎn)在橢圓上，面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.

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【題目】定義：對于數(shù)列，如果存在常數(shù)，使對任意正整數(shù)，總有成立，那么我們稱數(shù)列為“﹣擺動數(shù)列”.

①若，，，則數(shù)列_____“﹣擺動數(shù)列”，_____“﹣擺動數(shù)列”（回答是或不是）；

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【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作垂直于x軸的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且以線段AB為直徑的圓過點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與拋物線C交于點(diǎn)D，E和點(diǎn)G，H，且，求四邊形面積的最小值.

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【題目】設(shè)F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，M，P，Q是拋物線上三個不同的動點(diǎn)，直線PM過點(diǎn)F，MQ∥OP，直線QP與MO交于點(diǎn)N．記點(diǎn)M，P，Q的縱坐標(biāo)分別為y0，y1，y2．

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（2）證明：點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為定值．

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